《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习3 垂径定理的应用（解析版）

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练习 3 垂径定理的应用
1．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度 AB 为24m，点 O是
^
AB
所在圆的圆心，⊙O的半径为
13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）
【分析】由垂径定理得 AD＝BD
¿1
2
×
24＝12（m），设 CD＝xm，则 OD＝（13﹣x）m，在 Rt△AOD 中，
根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图所示：过 O作OD⊥AB 交
^
AB
于C，垂足为 D，
则AD＝BD
¿1
2
×
24＝12（m），
设CD＝xm，则 OD＝（13﹣x）m，
根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，
解得：x＝8，
即桥拱的高度为 8m．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关
键．
1
2．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面 AB 宽10cm，水最深 3cm，求输水管的半径．
【分析】设圆形切面的半径为 r，过点 O作OD⊥AB 于点 D，交⊙O于点 E，由垂径定理可求出 BD 的
长，再根据最深地方的高度是 3cm 得出 OD 的长，根据勾股定理即可求出 OB 的长．
【解答】解：设圆形切面的半径为 r，过点 O作OD⊥AB 于点 D，交⊙O于点 E，
则AD＝BD
¿1
2
AB
¿1
2
×
10＝5cm，
∵最深地方的高度是 3cm，
∴OD＝r3﹣，
在Rt△OBD 中，
OB2＝BD2+OD2，即 r2＝52+（r3﹣）2，
解得 r
¿17
3
（cm），
∴输水管的半径为
cm．
【点评】此题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用
垂径定理及勾股定理进行解答．
3．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算
术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD 为⊙O的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，CE＝1寸，AB＝
10 寸，求直径 CD 的长．
2
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接 OA，如图所示，
设直径 CD 的长为 2x，则半径 OC＝x，
∵CD 为⊙O的直径，弦 AB⊥CD 于E，AB＝10 寸，
∴AE＝BE
¿1
2
AB
¿1
2
×
10＝5寸，
连接 OA，则 OA＝x寸，
根据勾股定理得 x2＝52+（x1﹣）2，
解得 x＝13，
直径 CD 的长为 2x＝2×13＝26（寸）．
【点评】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
4．如图，在破残的圆形残片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C，交弦 AB 于点 D，已知 AB ＝
8cm，CD＝2cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作圆的半径．
【分析】（1）在圆形残片上作直线 MN 是弦 BE 的垂直平分线，MN 交CD 于点 P，连结 AP，以 P为圆
心，AP 为半径的圆为所求残片的圆．
3
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