第15讲 锐角三角函数2021年新九年级数学暑假精品课程（华师大版）（原卷版）

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第15 讲 锐角三角函数
【学习目标】
1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．会推算 30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【基础知识】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边 BC 记为 a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，
∠B 所对的边 AC 记为 b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，叫做斜边．
　
锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 ；
锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 ；
锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 .
同理 ； ； ．
考点诠释：
　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段
的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
1
A
B
C
a
b
c
　　(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，
　 　　 ，不能理解成 sin 与∠A，cos 与∠A，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记
号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
　 　　“tanAEF”；另外， 、 、 常写成 、 、 ．
　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
　　(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在 0°<∠A<90°间变化时， ， ，tanA＞0．
考点二、特殊角的三角函数值
　　　利用三角函数的定义，可求出 30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
　　考点诠释：
　　(1)通过该表可以方便地知道 30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道
了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 ，则锐角 ．
　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
2
　 　　 、 、 的值依次为 、 、 ，而 、 、 的值的顺
序正好相反， 、 、 的值依次增大，其变化规律可以总结为：
　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°．
　　(1)互余关系： ， ；
　　(2)平方关系： ；
　　(3)倒数关系： 或 ；
　　(4)商数关系： ．
　　考点诠释：
　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计
算时巧用这些关系式可使运算简便．
【考点剖析】
考点一：锐角三角函数值的求解策略
例1．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（
）
A．2 B．C．D．
举一反三：
【变式】在
RtΔABC
中，
∠C =90°
，若
a =3
，
b =4
，则
，
3
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