八年级数学暑假精品课程（沪教版）第18讲 正反比例函数综合（解析版）

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第 18 讲 正反比例函数综合
【学习目标】
正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进
行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的
学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．
【基础知识】
一、正反比例函数综合
1、正比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成
正比例，用数学式子表示两个变量 x、y成正比例，就是 ，或表示为 ，k是不等于零的常数．
2、解析式形如 （k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数 k叫做比例系数； 正
比例函数 的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．
3、一般地，正比例函数 （k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，
我们把正比例函数 的图象叫做直线 ．
4、正比例函数图像的性质：
（1）当 k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量 x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增
大．
（2）当 k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量 x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减
小．
2、反比例函数
1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用
数学式子表示两个变量 x、y成反比例，就是 ，或表示为 ，其中 k是不等于零的常数.
2、 解析式形如 （k是常数， ）的函数叫做反比例函数，其中 k也叫做比例
系数．反比例函数 的定义域是不等于零的一切实数．
3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数
（k是常数，k≠0）的图像.反比例函数 （k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．
4、反比例函数图像的性质：
（1）当 k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量 x的值逐渐增大时，y的
值随着逐渐减小；
（2）当 k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量 x的值逐渐增大时，y的
值随着逐渐增大；
（3）图像的两支都无限接近于 x轴和 y轴，但不会与 x轴和 y轴相交．
【考点剖析】
例1．函数 中，自变量 x的取值范围是________________．
1
【难度】★
【答案】 且 ．
【解析】由题意，可得： ，解得： 且 ．
【总结】考查函数自变量取值范围，与式子有意义的条件相同，即让包含自变量的每一部分都有意义．
例2．函数 与 的图像的交点坐标是_______________．
【难度】★
【答案】 ， ．
【解析】令 ，整理即为 ，解得 ， ，代入即可求得对 应 的 值 分 别
为 和 ，即交点坐标为 和 ．
【总结】求函数交点坐标，让对应的函数值相等，解方程所得的解即为交点横坐标，代入相应函数即可求
出交点纵坐标．
例3．已知 ， ，则 _____________．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】根据对应的函数，可知 ， ，由此可计算得：
．
【总结】考查函数的求值，代入对应的函数关系式即可．
例4．函数 的图像经过第二、四象限，则 的图像不经过_____________象限．
【难度】★
【答案】二、四．
【解析】 经过二、四象限，则有 ，得 ，由此可知反比例函数 经过 一、三象限，
即不经过二、四象限．
【总结】考查正比例函数和反比例函数经过的象限，根据 值的正负即可进行判断，注意仔细审题，看清
本题问的是不经过哪个象限．
例5．已知直线 与双曲线 的一个交点 A的坐标为 ；则 =_________；=____
___；它们的另一个交点坐标是___________．
【难度】★
【答案】2，2， ．
【解析】由 和 的交点坐标是 ，可知 在两个函数图像上，即满 足两个函数关
2
系式，由此即有 ， ，解得 ， ，同时根据正 比例函数和反比例函数性质，可
知两交点关于原点中心对称，可知另一交点坐标为 ．
【总结】两函数的交点同时在两个函数上，分别满足两个函数关系式，同时正比例函数和反比例函数的两
交点坐标关于原点中心对称．
例6．若 与 z成正比例关系，z与 成反比例关系，则 y与 成___________关系．
【难度】★
【答案】反比例．
【解析】 与 z成正比例，可令 ，z与 成反比例，可令 ，由此 可 得
由 ，可知 y与 成反比例关系．
【总结】上述为标准过程，简便判断方法，可根据类似正负数乘法计算法则“负负得正”、“正负得负”
类比即可得出结果．
例7．正比例函数 的图像经过点 A（1， ）和点 B（ ， ），反比例函数 的图像
经过点 B，则此反比例函数的解析式为_____________________．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】由正比例函数过点 A（1， ），可得 ，正比例函数过点 B（ ， ），可 得
，解得 ，即 B（2， ），反比例函数过点 B，可得 ，解得： ．
【总结】点在函数上，即对应点坐标满足相应的函数关系式．
例8．直线 OA 与反比例函数 的图象在第一象限交于 A点，AB⊥x轴于点 B，△OAB 的面
积为 2，则 k＝_________．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】 ，反比例函数过第一象限，可知 ，即可得： ．
【总结】考查反比例函数的几何意义，反比例函数任上一点向任一坐标轴作垂线和原点所得三角形面积为
，向两条坐标轴作垂线所得矩形面积为 ．
例9．若直线 与双曲线 在同一坐标系内的图像无交点，则 、 的关
系是___________．
【难度】★★
【答案】异号．
【解析】根据正比例和反比例函数的性质，根据相应 k值即可判断函数图像所在象限，无交 点，即说明两
3
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