八年级数学暑假精品课程（沪教版）第17讲 反比例函数的图像及性质（解析版）

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第 17 讲 反比例函数的图像及性质
【学习目标】
反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重
点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习
反比例函数的应用提供依据．
【基础知识】
一、反比例函数的概念
1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用
数
学式子表示两个变量 、 成反比例，就是 ，或表示为 ，其中 是不等于 0的常数．
2、解析式形如 （ 是常数， ）的函数叫做反比例函数，其中 称也叫做比例系数．
3、反比例函数 的定义域是不等于零的一切实数．
二、反比例函数的图像
1、反比例函数 （ 是常数， ）的图像叫做双曲线，它有两支．
三、反比例函数的性质
1、当 时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量 的值 逐 渐 增 大
时， 的值随着逐渐减小．
2、当 时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量 的值 逐 渐 增 大
时， 的值随着逐渐增大．
3、图像的两支都无限接近于 轴和 轴，但不会与 轴和 轴相交．
【考点剖析】
考点一：反比例函数的概念
例1．下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？
（1）被除数为 100，变量分别是除数 和商 ；
（2）三角形面积 一定时，三角形一边上的长 和这条边上的高 ；
（3）一位男同学练习 1000 米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度 v（米/秒）和跑完 全程所用时间
t（秒）；
（4）完成工作量 Q一定时，完成工作量所需的时间 t与工人人数 n（假设每个工人的 工 作 效 率 相
同）.
【难度】★
【答案】（1）是；（2）是；（3）是；（4）是．
【解析】考查两个变量成反比例的定义：两个变量的乘积为为定值．
例2．一个长方体的体积是 20cm3，它的长是 ycm，宽是 5cm，高是 xcm.写出长 y与高 x之间的函
数关系式.
【难度】★
1
【答案】 ．
【解析】长方体的体积=长×宽×高．
例3．下列函数（其中 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）y= +7．
【难度】★
【答案】（2）（4）是反比例函数，其余都不是．
【解析】解析式形如 的函数叫做反比例函数．
【总结】本题主要考查反比例函数的定义．
例4．已知 y是x的反比例函数，且 时， ，那么 y关于 x的函数解析式是________．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】设函数解析式为： ，将 ， 代入，得： ．
【总结】考查反比例函数解析式的求法．
例5．已知 y与 成反比例，且当 时， ，求 y与x的函数解析式．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】设函数解析式为： ，将 ， 代入，得： ．
【总结】考查反比例的定义：两个变量的乘积为定值．
例6．若函数 是反比例函数，则 m的值为________．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由题意，可得： ，则 或 ，∵ ，∴ ．
【总结】本题主要考查反比例函数的概念．
例7．如果 是反比例函数，那么 n的值是________．
【难度】★★
【答案】-1．
【解析】 且 ，则 ．
【总结】本题主要考查反比例函数的概念．
2
例8．已知 y是x的反比例函数，且当 时， ，那么当 时，x的值是___
_____．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】已知 y是x的反比例函数，且当 时， ，则反比例函数解析式为 ． 当
时， ．
【总结】本题主要考查利用待定系数法求反比例函数的解析式以及由解析式求函数值．
例9．如果变量 和变量 成正比例，变量 和变量 成反比例，那么变量 x和z成________比例
关系．
【难度】★★
【答案】反．
【解析】如果变量 和变量 成正比例，则可设 ，
变量 和变量 成反比例，则可设 ，∴ ，即 ．
∴变量 x和z成反比例关系．
【总结】本题主要考查两个变量成反比例的概念．
例10．已知反比例函数 ，求 k的值，并求当 x=
2
时的函数值
【难度】★★
【答案】 ， ．
【解析】因为是反比例函数，所以 ，所以 ．
则函数解析式为： ，当 x=
2
时， ．
【总结】考查反比例函数的定义：形如 的函数．
例11．已知 ，若 与 正比例， 与 成反比例函数，且当 时， ，当
时， ，求 y与x间的函数关系式．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】设 ， ，则 ．
3
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