八年级数学暑假精品课程（沪教版）第15讲 函数的概念及正比例函数的概念（解析版）

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第 15 讲 函数的概念及正比例函数的概念
【学习目标】
函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比
例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我
们后期学习正反比例函数提供依据．
【基础知识】
1、函数的概念
（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为 和 ，如果在变量 允许的取值范围内，变量 随着 变化而
变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 叫做变量 的函数， 叫做自变量.函数用记号
表示， 表示 时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
2.函数的定义域和函数值
（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
3.正比例函数的概念
（1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正
比例，用数学式子表示两个变量
、
成正比例，就是 ，或表示为 （ 不等于 0）， 是不等
于零的常数.
（2）解析式形如 （ 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数 叫做比例系数.正比
例函数 的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.
【考点剖析】
考点一：函数的概念
例1．（1）瓜子每千克 12 元，买 千克瓜子需付款 元，用 的代数式表示 ,并指出这个问题中
的变量和常量；
（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．
【难度】★
【答案】（1） ， 、 为变量，12 为常量；（2） ， 、 为变量， 为常量．
【解析】（1）总价=单价×数量，可得 与 的关系式为 ，根据变量与常量的概念和
区别，可知 、 为变量，12 为常量；
（2）圆周长公式为 ，其中 表示圆的周长， 表示圆的半径， 表示圆周率，根
据变量与常量的概念和区别，可知 、 为变量， 为常量．
【总结】考查变量与常量的概念．
例2．已知汽车驶出 站 3千米后，以 40 千米∕小时的速度行驶了 40 分，请将这段时间内汽车与
站的距离 （km）表示成 （时）的函数．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】根据路程=速度×时间，可知汽车后面所行驶的路程 ，则汽车与 A站的 距
1
离 ，同时汽车行驶时间不超过 40 分钟，即 ，可知 ．
【总结】根据所学相关公式，即可得到其中一些量之间的关系，三个量相互关联的量中一个量一定的情况
下，另两个量之间则有函数关系．
例3．扇形的面积公式是 ，其中 表示面积， 表示圆心角， 表示半径， 表示圆周
率，则其中常量是————．
【难度】★★
【答案】360、 ．
【解析】常量即为保持数值不变的量，故为 360 和 ．
【总结】考查常量的概念，即为保持数值不变的量．
考点二：函数的定义域和函数值
例1．求下列函数的定义域.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1）全体实数；（2） ；（3） ；（4）
【解析】（1） 为任意值， 都有意义，即函数定义域为全体实数；
（2） ；（3） ；（4） ．
【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可．
例2．求函数 的定义域．
【难度】★★
【答案】 且 ．
【解析】由题意，可得： ，解得： 且 ．
【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．
例3．求函数 的定义域．
【难度】★★
【答案】 且 ．
【解析】由题意，可得： ，解得： 且 ．
【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．
例4．若函数 ， ，求函数 中自变量 的取值范围．
2
【难度】★★
【答案】 且 且
【解析】由题意，可得： ，解得： 且 且 ．
【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．
例5．已知 ．
（1）求 ， ， ， ；
（2）当 为何值时， 没有意义？
（3）当 为何值时， ？
【难度】★★
【答案】（1） ， ， ， ；（2） ；
（3） ．
【解析】（1） ， ，
， ；
（2） 没有意义，可知 ，即得 ；
（3） ，即 ，解得 ．
【总结】 表示 时的函数值，代值进行相应化简计算即可．
考点三：正比例函数的概念
例1．下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．
（1）； （2）；
（3）； (4) ．
【难度】★
【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为 和 ；（2）（3）不是正比例函数．
【解析】形如 的函数是正比例函数，其中 即为其比例系数，可知（1）（4） 是正比例函数
比例系数分别为 、 ；（2）（3）不是正比例函数．
【总结】考查正比例函数和其相关比例系数的概念．
3
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