八年级数学暑假精品课程（沪教版）第14讲 一元二次方程章节复习（原卷版）

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第 14 讲 一元二次方程章节复习
【学习目标】
一元二次方程是初中数学计算的一个重要工具，一元二次方程思想也是初中数学中重要的解题思想，
它与初三所学的二次函数有着密切的关系，同时在有求未知数的题目中，经常运用方程思想求解，这就要
求同学们一定要把现在的一元二次方程基础夯实，为以后的综合学习奠定良好的基础．
【基础知识】
1．一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程．
2． 一元二次方程的一般形式
一般形式： ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数；
是常数项．
3．一元二次方程的解法
解法 1：直接开平方法：适合类型： ，当 时，原方程无实数解．
解法 2：因式分解法：
（1） 将方程右边化为 ；
（2） 将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程；
（3） 令每一个因式分别为 ，得到两个一元一次方程；
（4） 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
解法 3：配方法：
（1） 先把二次项系数化为 ：方程两边同除以二次项的系数；
（2） 移项：把常数项移到方程右边；
（3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为 的形式；
（4） 当 时，用直接开平方法解变形后的方程．
解法 4：公式法：
（1）把方程化为一般形式，进而确定 的值．(注意符号)
（2）求出 的值．(先判别方程是否有根)
（3）在 的前提下，把 的值代入求根公式，求出方程的根．
4、一元二次方程 的根的判别式是 ．当 时，–方程有两个不相等的实
数 根 ， ； 当 时 ， 方 程 有两 个 相 等 实 数根 ； 当
时，方程没有实数根．
5、韦达定理：如果 是一元二次方程 的两个根，由求根公式法
得： ， ；则 ．
1
这是一元二次方程根与系数的关系
6、二次三项式的因式分解：
（1）形如 （ 都不为 ）的多项式称为二次三项式；
（2）当 ，先用公式法求出方程 的两个实数根 ，
再写出分解式 ；当 ，方程
没有实数根， 在实数范围内不能分解因式．
7、一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中
心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定
要舍去．
列一元一次方程解应用题的步骤：
1审题；②设未知数；③找等量关系； ④列方程； ⑤解方程； ⑥写答句．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．如果关于 的方程 和 有相同的实数根,那么 的值是（ ）．
A． B． 或 C． D．
例2．若 是关于 的一元二次方程 的根，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例3．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）．
A．B．C．D．
例4．一元二次方程 的根的情况为（　　）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
例5．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则实数 的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
例6．若方程 中， 满足 和 ，则方程的根是（
）．
A． B． C． D．无法确定
例7．已知关于 的方程 有两个相等的正实数根，则 的值是
（ ）．
2
A． B． C．2或 D．
例8．某商品原价 元，连续两次降价 后售价为 元，下列所列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
例9．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035 张照片，
如果全班有 名同学，根据题意，列出方程为（ ）．
A． B．
C． D．
例10．如果一元二次方程 的两个根为 ，那么 与 的值分别为（ ）．
A．B． C．D．
例11．若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ,且满足 ．
则 的值为（ ）．
A． 或 　 B． 　 C． 　 D．不存在
考点二：填空题
例1．关于 x的方程 ，当 _______时为一元一次方程；当 _______
时为一元二次方程．
例2．已知方程 和 ，有共同的根 ，则 _______，_______．
例3．已知 是关于 的方程 的一个根，则 _______．
例4．已知方程 有两个相等的实数根，则 _______．
例5．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是_______．
例6．若方程 的两个根是 和 ，则 的值分别为_______．
例7．已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，那么 的值为_______．
例8．当 _______时，关于 的方程 可用公式法求解．
例9．若一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是_______．
3
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