八年级数学暑假精品课程（沪教版）第13讲 一元二次方程的应用（二） 解析版

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第 13 讲 一元二次方程的应用（二）
【学习目标】
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，
列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，
因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未
知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题
中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．
【基础知识】
1、数字问题：
对于数的应用题主要是要知道数的表示．
例如：一个三位数个位、十位、百位分别为 x 、y、 z，那么这个三位数则可以表示为
．
2、增长率问题
基本公式： ，
表示增长前的数， 表示增长率， 表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出 、 ．如果是
降低率，则为 ．
3、利润问题：
总利润 单件利润 总件数；
总利润 总售价 总成本价．
根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．
4、几何面积问题：
对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用 表示出来．例如要求的
某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．
5、传播问题
（1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了 张，总共有 个人所
以列式为 ；
（2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为 ．
这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．
【考点剖析】
考点一：数字问题
例1．已知两个连续奇数的积是 ，求这两个数．
【难度】★
【答案】17，19 或 ．
【解析】解：设这两个连续奇数为 ，则
1
， 整理得： ，
解得： ， 所以 ．
答：这两个数是 17，19 或 ．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．
例2．有一个两位数等于其数字之积的 2倍，其十位数字比个位数字小 3，求这个两位数．
【难度】★★
【答案】36．
【解析】设个位数字为 ，则十位数字是 ．
根据题意可得： ， 整理得： ，
， 解得： ， （不是整数，舍去）．
答：这个两位数为 36．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．
例3．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为 ，如果把十位数字与个位数字调换后，
所得的两位数乘以原来的两位数就得 ，求原来的两位数．
【难度】★★
【答案】原来的两位数是 35 或53．
【解析】设个位数字为 ，则十位数字是 ．
根据题意可得： ，整理得： ．
分解得： ， 解得： ， ．
答：原来的两位数是 35 或53．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．
考点二：增长率问题
例1．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 元的商品，甲超市连续两次降价 ；乙超市
一次性降价 ；丙超市第一次降价 ，第二次降价 ，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市
是哪家？
【难度】★
【答案】乙
【解析】甲超市： ； 乙超市： ；
丙超市： ．
【总结】本题主要考查降低率的问题．
例2．某钢铁厂去年 月份钢的产量为 吨， 月份上升到 吨，求这两个月平均每月增长的
百分率是多少？
【难度】★
2
【答案】20％
【解析】设这两个月平均每月增长的百分率是 ，
则根据题意可得： ， 解： （负值舍去）．
答：这两个月平均每月增长的百分率是 20％．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．
例3．某商场今年一月份销售额 万元，二月份销售额下降 ，进入月份该商场采取措施，
改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增
长的百分率．
【难度】★★
【答案】20％
【解析】三、四月份平均每月销售额增长的百分率是 ，
则根据题意可得： ， 解： （负值舍去）．
答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是 20％．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．
例4．某工厂 月份产品数是 万件，要求第 1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率
相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）
【难度】★★
【答案】设该工厂每月的平均增长率是 ，
则根据题意可得： ．
【解析】注意第一季度为 1、2、3月份产品数之和．
考点三：利润问题
例1．某商店购进一种商品，进价 元．试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与每件的销售价
(元)满足关系： ，若商店每天销售这种商品要获得 元的利润，那么每件商品的售价应
定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
【难度】★
【答案】每件商品的售价应定为 40 元，每天要售出这种商品 20 件．
【解析】由题意列方程得： ，
整理可得： ，解得：
答：每件商品的售价应定为 40 元，每天要售出这种商品 20 件．
【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析．
例2．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为 只，且每日产出的产品全部售出，已知
生产只熊猫的成本为 （元），售价每只为 （元），且、 与 的关系式分别为 ，
．
（１）当日产量为多少时每日获得的利润为 元？
（２）若可获得的最大利润为 元，问日产量应为多少？
【难度】★
3
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