八年级数学暑假精品课程（沪教版）第12讲 二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一）解析版

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第 12 讲 二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一）
【学习目标】
本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项
式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元
二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方
程思想是本节的重点内容．
【基础知识】
一、二次三项式的因式分解
（1）形如 的多项式称为二次三项式；
（2）如果一元二次方程 的两个根是 和 ,那么二次三项式的分解公式为：
．
二、一元二次方程应用：利率问题
1、列一元二次方程解应用题的步骤：
审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．
注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去．
2、利率问题：
利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；
本利和＝本金+利息
＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）
＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．
【考点剖析】
考点一：二次三项式的因式分解
例1． 若 方 程 的 两 个 根 是 ， ， 则 在 实 数 范 围 内 分 解 因 式
____________．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】如果一元二次方程 的两个根是 和 ，那么二次三项式 可分解
为： ．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．
例2．将 在实数范围内分解因式___________．
【难度】★
1
【答案】4．
【解析】因为方程 的两个根为： ， ，所以 =4
．
【总结】考查如果一元二次方程 的两个根是 和 ，那么二次三项式
可分解为： ．
例3．将 在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】考查如果一元二次方程 的两个根是 和 ,那么二次三项式 的分解公式为：
．
【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．
例4．若二次三项式 在实数范围内可分解因式为 ，
则一元二次方程 的两个实数根为________________．
【难度】★
【答案】 ， ．
【解析】如果一元二次方程 的两个根是 和 ，那么二次三项式的分 解公式为：
．
【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．
例5．在实数范围内分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1） ； （2） ；
2
（3） ； （4） ．
【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法．
【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．
例6．在实数范围内分解因式：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】将表达式中的 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解．
【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．
例7．在实数范围内分解因式：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】如果一元二次方程 的两个根是 和 ，那么二次三项式
可分解为： ．
【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．
例8．在实数范围内分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ；
3
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