八年级数学暑假精品课程（沪教版）第11讲 根的判别式及其应用（学生版）

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第 11 讲 根的判别式及其应用
【学习目标】
根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的个
数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．本节重点能运用根的判别式，判别
方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．
【基础知识】
一：判别式的值与根的关系
1.一元二次方程根的判别式：我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常
用符号“ ”表示，记作 ．
2.一元二次方程 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根．
二：根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
三：韦达定理
韦达定理：如果 是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得,
， ．
那么可推得 ． 这是一元二次方程根与系数的关系
【考点剖析】
考点一：判别式的值与根的关系
例1．选择：
（1）下列关于
x
的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A）
01
2
x
（B）
012
2
xx
（C）
032
2
xx
（D）
032
2
xx
（2）不解方程，判别方程 的根的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根 （D）没有实数根
（3）方程 的根的情况是( )
（A）有两个相等实根 （B）有两个不等实根
（C）没有实根 （D）无法确定
（4）一元二次方程 的根的情况为（ ）
1
（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根
（C）只有一个实数根 （D）没有实数根
例2．不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
例3．关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？
例4．已知关于 的一元二次方程 根的判别式的值为 4，求 的值．
例5．已知方程组 的解是 ，试判断关于 的方程 的根的情况．
2
例6．当 取何值时，关于 的方程 ，
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
例7．当 为何值时，关于 的方程 有实数根？并求出这时方程的根（用含
的代数式表示）．
考点二：根的判别式的应用
例1．证明：方程 有两个不相等的实数根．
3
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