八年级数学暑假精品课程（沪教版）第10讲 一元二次方程求根公式及综合（教师版）

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第 10 讲 一元二次方程求根公式及综合
【学习目标】
一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法
进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中
的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．
通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元
二次方程的应用奠定基础．
【基础知识】
一：一元二次方程求根公式
1、公式引入
一元二次方程 （ ），可用配方法进行求解：得： ．对上面这个方
程进行讨论：因为 ，所以
1当 时，
利用开平方法，得： ， 即：
2当 时，
这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程 左右两边的值相等，所以原方程没有实
数根．
2、求根公式
一元二次方程 （ ），当 时，有两个实数根：
，
这就是一元二次方程 （ ）的求根公式．
3、用公式法解一元二次方程一般步骤
1把一元二次方程化成一般形式 （ ）；
2确定 a、b、c的值；
3求出 的值（或代数式）；
4若 ，则把 a、b、c及 的值代入求根公式，求出 、 ；若 ，则方程
无解．
二：一元二次方程解法综合
1开平方法：形如 及 的一元二次方程，移项后直接开平方法
解方程．
2因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二
1
次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若 ，则 或 ．
3配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开
平方法求出方程的解
即： ，再用开平方法求解．
4公式法：用求根公式解一元二次方程
一元二次方程 ，当 时，有两个实数根：
【考点剖析】
考点一：一元二次方程求根公式
例1．求下列方程中 的值：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1）4；（2）17；（3）236；（4）38．
【解析】（1） ，则 ；
（2） ，则 ；
（3）方程可化为一般形式为： ， ，则 ；
（4） ，则 ．
【总结】本题主要考查根的判别式的概念及其计算．
例2．用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，则 ，则 ，∴ ；
（2） ，则 ，则 ，∴ ．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式 的运用．
例3．用公式法解下列方程：
2
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，则 ，则 ，
∴ ；
（2） ，则 ，则 ，∴ ．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式 的运用．
例4．用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1）方程无实数解；（2）方程无实数解．
【解析】（1） ，则 ，方程无实数解；
（2） ，则 ，方程无实数解．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．
例5．用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）方程可化为： ， ，则 ，
则 ，∴ ；
（2）方程可化为： ，则 ．
【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解．
例6．用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）方程可化为 ，，则 ，则
3
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