八年级数学暑假精品课程（沪教版）第9讲 因式分解法及配方法求解（教师版）

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第 9 讲 因式分解法及配方法求解
【学习目标】
利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次
方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点
是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公
式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．
【基础知识】
一：因式分解法解一元二次方程
1、因式分解法定义
运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．
2、因式分解法理论依据
1如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等
于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当 时，必有 或 ；当 或 时，必有
）．
2通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问
题转化为解一元一次方程的问题．
3、因式分解法解一元二次方程一般步骤
1将方程右边化为零；
2将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
3令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
二：配方法解一元二次方程
1、配方法定义
先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程
的根的解法叫配方法．
2、配方法理论依据
配方法的理论依据是完全平方公式： ．
3、配方法解一元二次方程一般步骤
1先把二次项系数化为 1：即方程左右两边同时除以二次项系数；
2移项：把常数项移到方程右边；
3配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成 的形式；
4当 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．
【考点剖析】
考点一：因式分解法解一元二次方程
例1．已知 x、y是实数，若 ，则下列说法正确的是（ ）．
A、x一定是 0 B、y一定是 0 C、 或 D、 且
1
【难度】★
【答案】C
【解析】xy=0 只需要 xy 其中一个为零整个乘式就为零，故选 C．
【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．
例2．口答下列方程的根：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【难度】★
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；（3） 或 ；
（4） 或 ；（5） 或 ．
【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解．
【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．
例3．解下列方程：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ， ； （2） ， ．
【解析】（1）由 ，得 ，解得： ， ，
所以原方程的解为： ， ；
（2）由 ，得 ，解得： ， ，
所以原方程的解为： ， ．
【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．
例4．解下列方程：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ， ； （2） ， ．
【解析】（1）由 ，得 ，
即 ，所以原方程的解为： ， ；
2
（2）由 ，得 ，
所以原方程的解为： ， ．
【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．
例5．解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1） ， ； （2） ， ；
（3） ； （4） ．
【解析】（1）由 ，得 或者 ，
所以原方程的解为： ， ；
（2）由 ，得 ， ，
解得： 或 ，所以原方程的解为： ， ；
（3）由 ，得 ，解得： ．
所以原方程的解为： ；
（4）由 ，得 ，即 ，
所以原方程的解为： ．
【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．
例6．解下列方程：
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ， ； （2） ， ．
【解析】（1）由 ，得 ，解得： 或者 ，
所以原方程的解为： ， ；
（2）由 ，得 ，即 ，解得： 或者 ，
所以原方程的解为： ， ．
3
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