八年级数学暑假精品课程（沪教版）第7讲 二次根式单元复习 （学生版）

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第 7 讲 二次根式单元复习
【学习目标】
二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次根式的运算是重
点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的性质包括二次根式的有理化因式和分母有理化以及最简二次
根式和同类二次根式；二次根式的运算包括二次根式的加减和二次根式的乘除以及它们的混合运算．把二
次根式化为最简二次根式，不仅是简明表达的需要，而且是研究那些表示形式不同但实质一样的二次根式
的需要，明确了同类二次根式和有理化因式的意义，那么，实施二次根式的加减运算，归结为合并同类二
次根式；实施二次根式的除法运算，归结为分母有理化，从二次根式运算的全过程来看，就是按照一定的
法则，把二次根式的运算转化为类似于整式、分式的运算，体现了化归的数学思想．
【知识机构】
一、二次根式的相关概念
1. 二次根式的概念
代数式 （ ）叫做二次根式，读作“根号 ”，其中 是被开方数．
2. 最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为 1；（2）被开方数不含分母．
同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
3. 同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
4. 有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个含有二次根式的
非零代数式互为有理化因式．
二、二次根式的性质
1、二次根式的性质：
性质 1 ； ；
性质 2 ；
性质 3 ；
性质 4 ．
三、二次根式的运算
1、二次根式的加减法
实质为将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
2、最简二次根式的乘除法：
1
（1） ； （2）．
3、分母有理化：
将分子分母同时乘以同一个适当的代数式，使分母不含根式；
．
4、二次根式的混合运算：
实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用
【考点剖析】
考点一：二次根式的相关概念
例1．下列各式中 、 、 、 、 、 、 、 ，
二次根式的个数是（ ）
A.4 B.3 C.6 D.5
例2．判断下列根式是否是最简二次根式．
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
例3．已知二次根式 、 是同类二次根式，写出三个 的可能值．
2
例4．求下列各式有意义的所有 x的取值范围：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ； （5） ．
例5．已知 ，求 的值．
例6．已知： 、 为实数，且 ，化简： ．
3
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