八年级数学暑假精品课程（沪教版）第6讲 二次根式的综合运算（教师版）

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第 6 讲 二次根式的综合运算
【学习目标】
分母有理化和二次根式的综合运算是八年级数学上学期第一章第二节内容．分母有理化是“数与代
数”的重要内容，是学习二次根式运算的依据．一方面，它是在学习了平方根基础之上对实数的进一步深
入；另一方面，又为学习二次根式的混合运算、一元二次方程、二次函数等知识奠定基础．二次根式的综
合运算是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，掌握好方法与技巧，能够进一步开拓学生
的解题思路，提高学生的解题能力．
【基础知识】
一：分母有理化
1. 分母有理化：
（1） 把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．
（2） 分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2. 有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式
的非零代数式互为有理化因式．
二、二次根式的混合运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．
【考点剖析】
考点一：分母有理化
例 1．填空．
（1） 的一个有理化因式是 ；
（2） 的一个有理化因式是 ．
【难度】★
【答案】（1） 等；（2） 等．
【解析】（1） 的一个有理化因式是 等；
（2） 的一个有理化因式是 等．
【总结】本题主要考查有理化因式的概念，注意有理化因式不是唯一的．
例 2．把下列各式分母有理化．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
【难度】★
1
【答案】（1） ，（2） ，（3） ，（4） ．
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【总结】本题主要考查分母有理化在化简中的运用．
例 3．把下列各式分母有理化．
（1） ； （2） ； （3） ．
【难度】★
【答案】（1） ，（2） ，（3） ．
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【总结】本题主要考查分母有理化在化简中的运用．
例 4．化简．
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ，（2） ．
2
【解析】（1）原式 ；
（2）原式
．
【总结】本题主要考查利用分母有理化化简二次根式并求值．
例 5．把下列各式分母有理化．
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】（1） ；
（2） ．
【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．
例 6．把下列各式分母有理化．
（1） ； （2） ； （3） ．
【难度】★★
【答案】（1） ； （2） ； （3） ．
【解析】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．
例 7．把下列各式分母有理化．
3
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