八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）专题11 最短距离问题 （知识点串讲）（解析版）

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专题 11 最短距离问题
重点突破
1. 知识点一 解决最短路径问题的基本步骤：
2. 实际问题---数学模型（点、线）
3. 未知---已知
4. 利用轴对称变换和平移变化
5. 根据“两点之间，线段最短”,确定最短路径
考查题型
典例 1．（2019·庆阳市期中）下图，要在燃气管道 L 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管
道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【详解】
试题分析：作出 A 镇关于燃气管道的对称点 A′，连接 A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B 与燃气
管道的交点即为所求的点 P 的位置．
试题解析：作点 A关于燃气管道的对称点 A′，连接 A′B 交燃气管道于点 P，即点 P即为所求．
变式 1-1．（2018·济南市莱芜区期末）作图题.如图，小河边有两个村庄 A、B，要在河边建一自来水厂
P，向 A村B村供水．
（1）若要使厂部到 A、B两村的距离相等，则厂部 P应选在哪里？在图①中画出；
（2）若要使厂部到 A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部 P应选在什么地方？在图②中画出．（保留
作图痕迹，不写作法，但要写结论）
1
【答案】(1)见解析；（2）见解析
【详解】
解：（1）如图①所示：点 C即为所求；
（2）如图②所示：点 C即为所求．
．
【点睛】
此题主要考查了作图与应用设计，关键是掌握在直线 L上的同侧有两个点 A、B，在直线 L上有到 A、B的
距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 L的对称点，对称点与另一点
的连线与直线 L的交点就是所要找的点．
变式 1-2．（2020·河西区期末）如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后送往
河岸 BC 上，再回到 P 处，请画出旅游船的最短路径．
2
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．
解：（1）两点之间，线段最短，连接 PQ；
（2）作 P 关于 BC 的对称点 P1，连接 QP1，交 BC 于 M，再连接 MP．
最短路线 P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．
巩固练习
一、单选题（共 10 小题)
1．（2020·济南市期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这
两个村庄供水. 某同学用直线（虛线） 表示小河， 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画
出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
根据题意，所需管道最短，应过点 P或点 Q作对称点，再连接另一点，与直线 l的交点即为水泵站 M，故
选项 A、B、D均错误，选项 C正确，
故选：C.
3
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