八年级数学上册期中期末考点大串讲（人教版）专题08 第十二章全等三角形 热考题型（知识点串讲）（解析版）

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专题 08 全等三角形 热考题型
考查题型
（本专题勾股定理部分的习题选做）
勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股
定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
知识点一 三角形全等
题型一 已知两边，找夹角 SAS
典例 1（2018 春 南通市期中）如图，△ABC 中，AB=AC，点 E，F 在边 BC 上，BE=CF，点 D 在 AF 的延长线上，
AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．
1
【答案】（1）证明见解析；（2）75．
【详解】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE 和△ACF 中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC= =75°，
故答案为：75．
典例 2（2019·四川中考模拟）如图，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF 与 DE 交于点 G，求证：
GE=GF．
【答案】证明见解析.
【详解】
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF 和△DCE 中
2
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
典例 3（2018 春 赣州市期末）已知，点 P 是等边三角形△ABC 中一点，线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°到 AQ，连接
PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若 PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求 PC 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【详解】
（1）证明：∵线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°到 AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ 是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP 和△CAQ 中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ 是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
3
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