八年级数学第一讲 勾股定理-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（北师大版）（原卷版）

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第一讲 勾股定理
【学习目标】
1.掌握勾股定理的作用：
(1)已知直角三角形的两边求第三边。 (2)已知直角三角形的一边，求另外两边的关系。
2.根据情境或条件构造出直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题，充分体现数学学以至用的特点。
【基础知识】
1. 如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么
a 2+b2= C2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2. 勾股定理是数形结合的典范，当三角形有一个直角这一“形”的特征时，就可以得到三边的数量关系.
3.运用勾股定理进行计算时，除了掌握公式 c2= a2＋b2外，还应掌握它的几种变式，即 a2= c2－b2; b2= c2－a2.
总之，已知直角三角形的两条边的长，就可以第三边的长.
【考点剖析】
考点一：勾股定理的简单应用
例1．（1）在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，则 AB＝_____．
（2）已知一个直角三角形的两直角边长分别是 1和3，则斜边长为________．
（3）直角坐标系中有一点 为坐标原点，则 _________．
（4）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以 AC、AB 为边向外作正方形，面积分别为 S1，S2，若 S1＝
2，S2＝5，则 BC 2＝_____．
考点二：勾股定理的证明
例2．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元 3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造
了“弦图”（如图 1，并给出了勾股定理的证明．已知，图 2中涂色部分是直角边长为 ，斜边长为 的
个直角三角形，请根据图 2利用割补的方法验证勾股定理．
1
【答案】见解析
【分析】
根据总面积=以c为边的正方形的面积+2 个直角边长为 的三角形的面积=以b为上底、(a+b)为下底、高
为b的梯形的面积+以a为上底、(a+b)为下底、高为 a的梯形的面积，据此列式求解．
【详解】
证明：总面积
考点三：勾股定理与折叠问题
例3．如图，将等腰直角三角形 （ ）沿 折叠，使点 落在 边的中点 处，
，那么线段 的长度为
A．5 B．4
C．4. 25 D．
例4．已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 使点 落在 边的点 处，
2
已知 ， ，求 的长.
【真题演练】
1．在 中， 、 、 的对应边分别是 a、b、c，若 ，则下列等式中成立的是
（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点 P (3，4)到原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
3．如图所示，在等腰 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线 l过点 B，分别过点 A、C作直线 l的
垂线，垂足分别为 E、F，若 AE＝8，则 CF 的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格点上， 于点 D，则
AD 的长为（ ）
A．1 B．2 C．D．
5．有一根长 33 厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为 24 厘米、18 厘米、16 厘米，这根木
3
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