八年级数学第三讲 勾股定理的应用-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（北师大版）（解析版）

3.0 envi 2025-04-23 15 4 956KB 16 页 3知币
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第三讲 勾股定理的应用
【学习目标】
知识与技能:经历多种方法探索勾股定理，进一步利用勾股定理进行简单的计算和证明，解决实际问题。
【基础知识】
1能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.
【考点剖析】
考点一：求梯子滑动的距离
例1．一架云梯 AB 斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离 AC＝24 米，梯子底端距墙脚的距离 BC＝7米．
（1） 求梯子的长度．
（2） 如果梯子的顶端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动 4米吗？ 为什么？
【答案】（1）25 米；（2）梯子底部在水平方向滑动了 8米
【详解】
解：（1）由题意可得：
AC=24 米，BC=7 米，∠ACB=90°，
∴AB= =25 米，
∴梯子的长度为 25 米；
（2）如图，在 Rt△CDE 中，
∵CD=AC-4=24-4=20 米，DE=25 米，
∴CE= =15 米，
∴BE=CE-BC=15-7=8（米）．
答：梯子底部在水平方向滑动了 8米．
考点二：航海问题
例2．如图，一艘轮船从小岛 处出发，向正北方向以每小时 20 海里的速度行驶了 1.5 小时到达 处执行
任务，再向正东方向以相同的速度行驶了 2小时到达 处继续执行任务，然后以相同的速度直接从 处返
回 处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）
1
【答案】1小时
【详解】
（海里），
（海里），
再Rt△ABC 中，∠ABC=90°，
由勾股定理得： （海里），
∴返回所用时间为： 小时，
出去所用时间为： 小时，
∴则返回时比出去时节省的时间为： 小时．
答：返回时比出去时节省了 1小时．
考点三：求旗杆的高度
例3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了 1 m，当他把绳子的下端拉开 5 m后，
发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
【答案】旗杆的高度为 12 米
【详解】
解：设旗杆的高度为 x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，
解得，x=12．
答：旗杆的高度为 12 米．
【真题演练】
1．如图，原来从 A村到 B村，需要沿路 A→C→B（ ）绕过两地间的一片湖，在 A，B间建好桥
后，就可直接从 A村到 B村．已知 ， ，那么，建好桥后从 A村到 B村比原来减少
的路程为（ ）
A．2km B．4km C．10 km D．14 km
【答案】B
【详解】
解：由题意可得：
2
则打通隧道后从 A村到 B村比原来减少的路程为： （km）．
故选：B．
2．如图，在灯塔 O的东北方向 8海里处有一轮船 A，在灯塔的东南方向 6海里处有一渔船 B，则 AB 间的
距离为（　　　）
A．9海里 B．10 海里 C．11 海里 D．12 海里
【答案】B
【详解】
解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，
又∵OA=8 海里，OB=6 海里，∴AB=（海里）．
故选：B．
3．如图，为修铁路需凿通隧道 ，测得 ， ， ，若每天凿 ，
则把隧道 凿通需要（　　　）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
【答案】A
【详解】
解：∵ ，
∴.
在 中， ， ，
∴ ，
∴隧道 凿通需要 （天），
∴ 天才能把隧道 凿通．
故选： ．
4．如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A到墙根 O的距离为 5m，梯子的顶端 B到地面的距离为 12m，
现将梯子的底端 A向外移动到 A'，使梯子的底端 A'到墙根 O的距离等于 6m，同时梯子的顶端 B下降至
B'，那么 BB'（　　　）
3
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