八年级数学第4讲 多边形-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）

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第4讲 多边形
【学习目标】
1.认识多边形
2.了解多边形的性质
3.利用多边形的性质证明
【基础知识】
知识点一、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个 n 边形有 n 个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
考点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
1
凸多边形 凹多边形
(2)过 n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为
( 3)
2
n n
；
(3)过 n 边形的一个顶点的对角线可以把 n 边形分成(n-2)个三角形．
知识点二、多边形内角和
n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
考点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边
形的每个内角都相等，都等于
( 2) 180n
n
°
；
知识点三、多边形的外角和
多边形的外角和为 360°．
考点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于
360°，它与边数的多少无关；
(2)正 n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于
360
n
°
；
(3)多边形的外角和为 360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相
等外角的度数．
【考点剖析】
考点一：多边形的概念
例1．如图，在六边形 ABCDEF 中，从顶点 A 出发，可以画几条对角线？它们将六边形 ABCDEF 分成
哪几个三角形?
【答案】
解：如图，P 从顶点 A 出发，可以画三条对角线，它们将六边形 ABCDEF 分成的三角形分别是：
△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.
2
【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-
2）个．
举一反三：
【变式】过正十二边形的一个顶点有 条对角线，一个正十二边形共有 条对角线
【答案】9，54。
考点二：多边形内角和定理
例2．2.证明： n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
【思路】先写出已知、求证，再画图，然后证明．
【答案】
已知：n 边形 A1A2……An，
求证：∠A1+∠A2+……+∠An=（n-2）·180°，
证法一：如图(1)所示，在 n 边形内任取一点 O，连 O 与各顶点的线段把 n 边形分成了 n 个三角形，n 个三
角形内角和为 n·180°，减去以 O 为公共顶点的 n 个角的和 2×180°(即一个周角)得 n 边形内角和为
n·180°-2×180°-(n-2)·180°．
证法二：如图(2)所示，过顶点 A1作对角线，把 n 边形分成了(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和
恰是多边形的内角和，即(n-2)·180°．
方法三：如图(3)所示，在多边形边上任取一点 P，连这点与各顶点的线段把 n 边形分成了(n-1)个三角形，
n 边 形 内 角 和 为 这 (n-1) 个 三 角 形 内 角 和 减 去 在 点 P 处 的 一 个 平 角 ， 即 (n-1)·180°-180° ＝ (n-
2)·180°．
【总结】证明多边形内角和定理，关键是构造三角形，利用三角形的内角和定理进行证明．
3
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