八年级上册数学举一反三系列(人教版)专题05 全等三角形中的常见辅助线（举一反三）（原卷版）

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专题 05 全等三角形中的常见辅助线【举一反三】

【人教版】

【考点 1 角分线上点向角两边作垂线构全等】

【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问

题；

【例 1】如图，已知 BP 平分∠ABC，PD⊥BC 于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．

【变式 1-1】（2019 秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点 P

在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA、OB 交于 C、D．

（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是　　．

（2）请你证明（1）得出的结论．

【变式 1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC 平分∠MAN，点 B、D分别在 AN、AM 上．

（1）如图 1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段 AD、AB、AC 之间的数量关系，并证明之；

（2）如图 2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，

请说明理由．

【变式 1-3】（2019 秋•东区校级月考）如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所

在

直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B＝60° ，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，

AD、CE 相交于点 F．请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系；（不需证明）

（2）如图③，在△ABC 中，∠B＝60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F，

请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【考点 2 截取法构全等】

【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；

【例 2】（2019 秋•黄浦区校级期中）已知：在四边形 ABCD 中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝

60°，BD 平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC．

【变式 2-1】已知△ABC 中，∠A＝60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD、CE 交于点 O，试判断

BE，

CD，BC 的数量关系，并说明理由．

【变式 2-2】（2019 秋•邵阳期末）如图①，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，AD 为∠BAC 的角平分线，求证：

AB＝AC+CD

小明同学经过思考，得到如下解题思路：

在AB 上截取 AE＝AC，连接 DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证 AB＝AC+CD

（1）请你根据以上解思路写出证明过程；

（2）如图②，若 AD 为△ABC 的外角∠CAE 平分线，交 BC 的延长线于点 D，∠D＝25°，其他条件不变，

求∠B的度数．

【变式 2-3】（2019•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：

在△ABC 中，∠ACB＝2∠B．

（1）如图①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；

（2）如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？不需要

证明，请直接写出你的猜想；

（3）如图③，当 AD 为△ABC 的外角平分线时，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜

想，并对你的猜想给予证明．

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