八年级上册数学举一反三系列(人教版)专题05 全等三角形中的常见辅助线（举一反三）（解析版）

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专题 05 全等三角形中的常见辅助线【举一反三】

【人教版】

【考点 1 角分线上点向角两边作垂线构全等】

【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问

题；

【例 1】如图，已知 BP 平分∠ABC，PD⊥BC 于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．

【分析】过点 P作PH⊥AB 于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 PD＝PH，利用“HL”证

明Rt△BDP 和Rt△BHP 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BD＝BH，再求出 DE＝FH，然后利用“边

角边”证明△ODE 和 △ PHF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BEP ＝ ∠ PFH ，然后根据

∠BFP+∠PFH＝180°等量代换即可得证．

【答案】证明：如图，过点 P作PH⊥AB 于H，

∵BP 平分∠ABC，PD⊥BC，

∴PD＝PH，

在Rt△BDP 和Rt△BHP 中，

，

∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），

∴BD＝BH，

∵BF+BE＝2BD，

∴BD﹣BF＝BE﹣BD，

即BH﹣BF＝BE﹣BD，

∴FH＝DE，

在△ODE 和△PHF 中，

，

∴△ODE≌△PHF（SAS），

∴∠BEP＝∠PFH，

∵∠BFP+∠PFH＝180°，

∴∠BFP+∠BEP＝180°．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作辅助线构

造出全等三角形是解题的关键，难点在于求出 DE＝FH．

【变式 1-1】（2019 秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点 P

在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA、OB 交于 C、D．

（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是　　．

（2）请你证明（1）得出的结论．

【分析】过 P分别作 PE⊥OB 于E，PF⊥OA 于F，由角平分线的性质易得 PE＝PF，然后由同角的余角相

等证明∠1＝∠2，即可由 ASA 证明△CFP≌△DEP，从而得证．

【答案】解：（1）PC＝PD．（4分）

（2）过 P分别作 PE⊥OB 于E，PF⊥OA 于F，

∴∠CFP＝∠DEP＝90°，（6分）

∵OM 是∠AOB 的平分线，

∴PE＝PF，（7分）

∵∠1+∠FPD＝90°，（直角三角板）

又∵∠AOB＝90°，

∴∠FPE＝90°，

∴∠2+∠FPD＝90°，

∴∠1＝∠2，（9分）

在△CFP 和△DEP 中

，

∴△CFP≌△DEP（ASA），（10 分）

∴PC＝PD．（12 分）

【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．

【变式 1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC 平分∠MAN，点 B、D分别在 AN、AM 上．

（1）如图 1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段 AD、AB、AC 之间的数量关系，并证明之；

（2）如图 2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，

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