22.1 一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华师大版）

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22.1 一元二次方程

基础知识

1.一元二次方程的定义：

只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程。可以说，

一元二次方程的定义包含三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的

最高次数是 2。三个条件缺一不可。

2．一元二次方程一般形式：

一元二次方程一般形式是：（是常数）。其中

叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项，分别是二次项、一次项的

系数；各项及系数要注意包括符号。

【提醒】任何一个一元二次方程不可缺少二次项，即；但可以缺一次项和常数

项，即均可以为。

3.一元二次方程的解的意义：

使一元二次方程左右两边相等的值叫做一元二次方程的解。一元二次方程的解也

叫一元二次方程的根。

【注意】①一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个解；②可用代入法检验一

个数是否是一元二次方程的解，以及求待定常数。

例题

例．已知 x＝1是一元二次方程 ax2＋bx－40＝0的一个根，且 a≠b，求的值.

【答案】20

【分析】

先根据一元二次方程的解得到 a+b=40，然后把原式进行化简得到=（a+b），再利用

整体代入的方法计算；

【详解】

把x=1 代入方程得 a+b-40=0，即 a+b=40，

所以原式= .

练习

1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（）．

A．B．

C．D．

2．方程化为一元二次方程的一般形式是（　　）

A．2x2﹣9x+10＝0 B．2x2﹣x+10＝0

C．2x2+14x﹣10＝0 D．2x2+3x﹣10＝0

3．方程的二次项系数和一次项系数分别为（）

A．和 B．和 C．和 D．和

4．关于 x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则 m的

值为（）

A．0 B．±3 C．3 D．－3

5．已知关于 x的一元二次方程 x2＋5x﹣m＝0的一个根是 2，则 m的值为（）

A．7 B．9 C．14 D．16

6．若 a是关于 x的方程 3x2﹣x﹣1=0 的一个根，则 2021﹣6a2＋2a的值是（）

A．2023 B．2022 C．2020 D．2019

7．若关于 x的方程是一元二次方程，则 m=_____．

8．若（a﹣2）x2﹣6x+1＝0是关于 x的一元二次方程，则 a的取值范围为___．

9．若是方程一个根，则代数式的值为________．

10．一元二次方程的二次项系数是_________，常数项是________．

11．已知 a是方程的一个实数根，则的值为______．

12．为解决群众看病贵的问题，某区有关部门决定降低药价，对某种原价为 280 元的

药品进行连续两次降价，降价后的价格为 240 元，设平均每次降价的百分率为，由

题意可列方程__________．

13．已知关于 x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求 a的值．

14．已知 x＝﹣1是一元二次方程的一个根，求的值．

15．将方程 y2﹣y(﹣4y+1)=1 化为一般形式（要求二次项系数为正数），写出二次项的

系数，一次项和常数项．

参考答案

1．A

【分析】

本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最

高次数是 2；(2)二次项系数不为 0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条

件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【详解】

解：A、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确．

B、本方程的未知数的最高次数是 1；故本选项错误；

C、本方程的未知数的最高次数是 3；故本选项错误；

D、本方程不是整式方程，是分式方程；故本选项错误；

故选 A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否

是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2．

2．A

【分析】

根据一元二次方程一般式的概念即可求出答案．

【详解】

解：，

，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的概念，本题属于基础

题型．

3．B

【分析】

根据一元二次方程的一般形式确定出二次项系数与一次项系数即可．

【详解】

解：方程的二次项系数和一次项系数分别为 1和．

故选：B．

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