18.5 《平行四边形》章末复习（能力提升）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十八章平行四边形

18.5 《平行四边形》章末复习（能力提升）

【要点梳理】

要点一、平行四边形

1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2．性质：（1）对边平行且相等；

（2）对角相等；邻角互补；

（3）对角线互相平分；

（4）中心对称图形.

3．面积：

高底

平行四边形

S

4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．

边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：平行线的性质：

（1）平行线间的距离都相等；

（2）等底等高的平行四边形面积相等.

要点二、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

宽＝长

矩形

S

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半．

要点三、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；

（2）四条边相等；

（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

对角线对角线

高＝＝底

菱形



S

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

要点四、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：（1）对边平行；

（2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三

角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

正方形

边长×边长＝

×对角线×对角线

4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、平行四边形

例 1、如图 1，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=α，D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作

△ADE，使 AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．

（1）直接写出∠ADE 的度数（用含 α 的式子表示）；

（2）以 AB，AE 为边作平行四边形 ABFE，

①如图 2，若点 F 恰好落在 DE 上，求证：BD=CD；

②如图 3，若点 F 恰好落在 BC 上，求证：BD=CF．

【思路点拨】（1）由在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又

由 AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE 的度数；

（2）①由四边形 ABFE 是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得

∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得 AD⊥BC，又由 AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结

论；②由在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形 ABFE 是平行四边形，

可得 AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得 AD=CD，又由

AD=AE=BF，证得结论．

【答案与解析】

解：（1）∵在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=α，

∴∠BAC=180°﹣2α，

∵∠DAE+∠BAC=180°，

∴∠DAE=2α，

∵AE=AD，

∴∠ADE=90°﹣α；

（2）①证明：∵四边形 ABFE 是平行四边形，

∴AB∥EF．

∴∠EDC=∠ABC=α，

由（1）知，∠ADE=90°﹣α，

∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，

∴AD⊥BC．

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