18.4 正方形（能力提升）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十八章平行四边形

18.4 正方形（能力提升）

【要点梳理】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，

更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为

四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角

是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角

线互相垂直（即菱形）.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、正方形的性质

例 1、已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E在边 CD 上，AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ

于点 P．

（1）求证：AP=BQ；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与

较短线段长度的差等于 PQ 的长．

【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出 AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得

到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA 并得出结论；（2）根据 AQ AP=PQ﹣和全等三角形的

对应边相等进行判断分析．

【答案与解析】

解：（1）∵正方形 ABCD

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°

∵DP⊥AQ

∴∠ADP+∠DAP=90°

∴∠BAQ=∠ADP

∵AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ 于点 P

∴∠AQB=∠DPA=90°

∴△AQB≌△DPA（AAS）

∴AP=BQ

（2）① AQ AP=PQ﹣

②AQ BQ=PQ﹣

③DP AP=PQ﹣

④DP BQ=PQ﹣

【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方

形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等

的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．

举一反三：

【变式 1】如图四边形 ABCD 是正方形，点 E、K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线

上，且 CE＝BK＝AG．以线段 DE、DG 为边作



DEFG．

(1)求证：DE＝DG，且 DE⊥DG．

(2)连接 KF，猜想四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

【答案】

证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形，

∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．

又∵ CE＝AG，

∴ △DCE≌△DAG，

∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．

又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°，

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