18.4 正方形（基础巩固）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十八章平行四边形

18.4 正方形（基础巩固）

【要点梳理】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，

更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为

四个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角

是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角

线互相垂直（即菱形）.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、正方形的性质

例 1、如图，有一平行四边形 ABCD 与一正方形 CEFG，其中 E点在 AD 上．若

∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　）

A．50 B．55 C．70 D．75

【思路点拨】由平角的定义求出∠CED 的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，

再由平行四边形的对角相等即可得出结果．

【答案】C．

【解析】

解：∵四边形 CEFG 是正方形，

∴∠CEF=90°，

∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180° 15° 90°=75°﹣ ﹣ ，

∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180° 75° 35°=70°﹣ ﹣ ，

∵四边形 ABCD 为平行四边形，

∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．

故选 C．

【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知

识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问

题的关键．

举一反三：

【变式 1】已知：如图，E 为正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的点，F 是 CD 边上一点，且

CE＝CF，连接 DE，BF．求证：DE＝BF．

【答案】

证明：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴BC＝DC，∠BCD＝90°

∵E 为 BC 延长线上的点，

∴∠DCE＝90°，

∴∠BCD＝∠DCE．

在△BCF 和△DCE 中，

BC DC

BCF DCE

CF CE





  







，

∴△BCF≌△DCE（SAS），

∴BF＝DE．

【变式 2】如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则

∠BFC 为（　　）

A．75° B．60° C．55° D．45°

【答案】B；

提示：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，

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