18.3 菱形（基础巩固）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十八章平行四边形

18.3 菱形（基础巩固）

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形 .② 有一组邻边相等.即菱形是一

个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对

称中心.

要点诠释：

（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完

全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底 ×高；另一种是

两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂

直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：

前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四

边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

例 1、如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交AD

的延长线于点 F，求证：DF=BE．

【思路点拨】连接 AC，根据菱形的性质可得 AC 平分∠DAE，CD=BC，再根据角平

分线的性质可得 CE=FC，然后利用 HL 证明 Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出 DF=BE．

【答案与解析】

证明：连接 AC，

∵四边形 ABCD 是菱形，

∴AC 平分∠DAE，CD=BC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．

在Rt△CDF 与Rt△CBE 中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），

∴DF=BE．

【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角

线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角

的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．

举一反三：

【变式 1】如图，在菱形 ABCD 中，点 E是AB 上的一点，连接 DE 交AC 于点 O，连

接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=　　度．

【答案】50；

解：在菱形 ABCD 中，

AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，

CD=CB，∠BCO=∠DCO，

∴在△BCO 和△DCO 中，

，

∴△BCO≌△DCO（SAS），

∴∠CBO=∠CDO=50°．

【变式 2】菱形 ABCD 中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为 8，则此菱形的高等于( )．

B.4 C.1 D.2

【答案】C；

提示：由题意，∠A＝30°，边长为 2，菱形的高等于

×2＝1.

类型二、菱形的判定

例 2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形 DECF

是菱形吗?试说明理由．

【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由 DE∥AC，DF∥BC 知四边形 DECF 是平

行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．

【答案与解析】

解：四边形 DECF 是菱形，理由如下：

∵ DE∥AC，DF∥BC

∴ 四边形 DECF 是平行四边形．

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