18.1 平行四边形（能力提升）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十八章平行四边形

18.1 平行四边形（能力提升）

【要点梳理】

要点一、平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD 记

作“



ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”.

要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相

对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线

有两条.

要点二、平行四边形的性质

1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性

质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角

形三边的不等关系来解决.

要点三、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判

定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依

据.

要点四、三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关

系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的 4 个小三角形.因而每个小三角形

的周长为原三角形周长的

，每个小三角形的面积为原三角形面积的

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点五、平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条

平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

（2）平行线间的距离处处相等

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的

长度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

2.平行四边形的面积：

平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.

【典型例题】

类型一、平行四边形的性质

例 1、如图，平行四边形 ABCD 的周长为 60 ，对角线交于 O，△AOB 的周长比△BOCË

的周长大 8 ，求 AB，BC 的长．

【答案与解析】

解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形．

　　　∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，

　　　∵

□

ABCD 的周长是 60．

　　　∴2AB＋2BC＝60，即 AB＋BC＝30，①

　　　又∵△ AOB 的周长比△BOC 的周长大 8．

　　　即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ②

　　　由①②有

　　　解得

　　　∴AB，BC 的长分别是 19 和 11 ．

【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.

举一反三：

【变式】如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 是 DC 边上一点，连接 AE、BE，已知 AE 是

∠DAB 的平分线，BE 是∠CBA 的平分线．

　　（1）求证：AE⊥BE；

　　（2）若 AE=3，BE=2，求平行四边形 ABCD 的面积．

【答案】

　解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，

　　∴∠ABC+∠BAD=180°，

　　∵BE、AE 分别平分∠ABC 和∠BAD，

　　∴∠ABE+∠BAE= ×180°=90°，

　　∴∠AEB=90°，

　　即 AE⊥BE；

　　（2）∵AE⊥BE

　　∴S△ABE=AE×BE÷2=3，

　　∴平行四边形 ABCD 的面积=2S△ABE=6．

类型二、平行四边形的判定

例 2、已知：如图四边形 ABCD 是平行四边形，P、Q是直线 AC 上的点，且 AP=CQ．

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