18.1 平行四边形（基础巩固）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD 记
作“
ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相
对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线
有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性
质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角
形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判
定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依
据.
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
1
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关
系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的 4 个小三角形.因而每个小三角形
的周长为原三角形周长的
1
2
，每个小三角形的面积为原三角形面积的
1
4
.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条
平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的
长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
例 1、如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，若 AF、BE 分别为∠DAB、∠CBA 的
平分线．求证：DF＝EC．
【答案与解析】
证明：∵ 在
ABCD 中，CD∥AB，
∠DFA＝∠FAB．
又∵ AF 是∠DAB 的平分线，
∴ ∠DAF＝∠FAB，
∴ ∠DAF＝∠DFA，
∴ AD＝DF．
同理可得 EC＝BC．
2
∵ 在
ABCD 中，AD＝BC，
∴ DF＝EC．
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线
段相等提供了条件．
举一反三：
【变式】如图，E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE＝AF，请你猜想：线
段 BE 与线段 DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明：猜想：BE ∥DF 且 BE＝DF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴CB=AD，CB∥AD
∴∠BCE＝∠DAF
在△BCE 和△DAF 中
CB AD
BCE DAF
CE AF
 
∴△BCE≌△DAF
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA
∴BE∥DF
即 BE ∥DF 且 BE＝DF.
类型二、平行四边形的判定
例 2、如图所示，E、F 分别为四边形 ABCD 的边 AD、BC 上的点，且四边形 AECF 和 DEBF
都是平行四边形，AF 和 BE 相交于点 G，DF 和 CE 相交于点 H．求证：四边形 EGFH 为平行四
边形．
3
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