17.3 《勾股定理》章末复习（基础巩固）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十七章 勾股定理
17.3 《勾股定理》章末复习（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边
a b、
的平方和等于斜边
c
的平方.（即：
2 2 2
a b c 
）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要
应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为 的线段.
要点二、勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互
逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a b c、 、
，满足
2 2 2
a b c 
，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为
c
；
（2）验证
2
c
与
2 2
a b
是否具有相等关系，若
2 2 2
a b c 
，则△ABC 是以∠C 为直角
的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
3.勾股数
满足不定方程
2 2 2
x y z 
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯
数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
常 见的勾股数： ① 3 、 4、 5 ； ② 5、 12 、 13 ；③ 8 、 15 、 17； ④ 7 、24 、25 ；
1
⑤ 9、40、41.
如果(
a b c、 、
)是勾股数，当 t 为正整数时，以
at bt ct、 、
为三角形的三边长，此三
角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差 1.
3.假设三个数分别为
a b c、 、
，且
a b c 
，那么存在
2
a b c 
成立.（例如④中存
在
2
7
＝24＋25、
2
9
＝40＋41 等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角
形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
例 1、已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8，求第三边的长．
【答案与解析】
解：设第三边为
x
．
当
x
为斜边时，由勾股定理得
2 2 2
6 8x 
．
所以
2 2
6 8 36 64 100 10x  
．
当
x
为直角边时，由勾股定理，得
2 2 2
6 8x 
．
所以
2 2
8 6 64 36 28 2 7x  
．
所以这个三角形的第三边为 10 或
2 7
．
【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所
求的第三边为斜边．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12．求△ABC 的周长．
【答案】
2
解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
由勾股定理，得
2 2 2 2 2
15 12 81BD AB AD   
．
∴
81 9BD  
．
同理
2 2 2 2 2
13 12 25CD AC AD  
．
∴
25 5CD  
．
①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．
∴ △ABC 的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．
②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．
∴ △ABC 的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．
综上所述：△ABC 的周长为 32 或 42．
例 2、如图所示，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M 为 AB 上一点．
求证：
2 2 2
2AM BM CM 
．
【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此
需要作 CD⊥AB．
【答案与解析】
证明：过点 C 作 CD⊥AB 于 D．
∵ AC＝BC，CD⊥AB，
∴ AD＝BD．
∵ ∠ACB＝90°，
∴ CD＝AD＝DB．
∴
 
2 2
2 2
AM BM AD DM AD DM  
2 2 2 2
2 2AD AD DM DM AD AD DM DM  
2 2
2( )AD DM 
3
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