16.4 《二次根式》章末复习（基础巩固）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十六章 二次根式
16.4 《二次根式》章末复习（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如
( 0)a a
的式子叫做二次根式，如
1
3, , 0.02, 0
2
等式子，都叫做二次根
式.
要点诠释：二次根式
a
有意义的条件是
0a
，即只有被开方数
0a
时，式子
a
才是二次根式，
a
才有意义.
2.二次根式的性质
（1） ；
（2） ；
（3） .
要点诠释：
（1）一个非负数
a
可以写成它的算术平方根的平方的形式，即
a
（
0a
），
如
2 2 2
1 1
2 ( 2) ; ( ) ; ( )
3 3 x x  
（
0x
）.
（2）
2
a
中
a
的取值范围可以是任意实数，即不论
a
取何值，
2
a
一定有意义.
（3）化简
2
a
时，先将它化成
a
，再根据绝对值的意义来进行化简.
1
（4）
2
a
与
2
( )a
的异同
不同点：
2
a
中
a
可以取任何实数，而
2
( )a
中的
a
必须取非负数；
2
a
=
a
，
2
( )a
=
a
（
0a
）.
相同点：被开方数都是非负数，当
a
取非负数时，
2
a
=
2
( )a
.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如
2 2
2, ,3 ,ab x a b
等都是
最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每
个因式的指数都小于根指数 2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次
根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是
否相同，再判断.如
2
与
8
，由于
8
=
2 2
，
2
与
8
显然是同类二次根式.
要点二、二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法
( 0, 0)a b ab a b 
积的算术平方根化简公式：
( 0, 0)ab a b a b 
二次根式的除法
= ( 0, 0)
a a a b
b
b
 
商的算术平方根化简公式：
( 0, 0)
a a a b
bb
 
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则.
2
如
a b c d ac bd 
.
（2）被开方数 a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
如
( 4) ( 9) 4 9  
.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数
不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，
最后合并同类二次根式.如
2 3 2 5 2 (1 3 5) 2 2  
.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
例 1． 当________时，二次根式
3x
在实数范围内有意义.
【答案】
x
≥3.
【解析】根据二次根式的性质，必须
3x
≥0 才有意义.
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有
0a
时
a
才是二次根
式.
举一反三
【变式】①
2
4 2x x 
成立的条件是 .
②
2 2
33
x x
xx
 
成立的条件是 .
【答案】①
x
≤0；(
2
4 2 2x x x x  
≤0.)
② 2≤
3x
.(
2 0,3 0,x x   ≥
2≤
3x
)
例 2．当 0≤
x
<1 时，化简
2
1x x 
的结果是__________.
【答案】 1.
3
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