14.3 因式分解讲义 教师版

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14.3 因式分解
学习目标
1.了解因式分解的意义
2.理解因式分解的方法------提公因法
2.通过对因式分解方法的归纳学习，培养学生独立思考的习惯
学习重点
知识点一 因式分解【重点】
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这
个多项式分解因式。
【例题 1】下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．ax+bx+c=x（a+b）+c D．y2﹣1=（y+1）（y﹣1）
【分析】直接利用把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做
分解因式，进而分析得出答案．
【解答】解：A、x（a﹣b）=ax﹣bx，是整式乘法，故此选项错误；
B、x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2，不是因式分解，故此选项错误；
C、ax+bx+c=x（a+b）+c，不是因式分解，故此选项错误；
D、y2﹣1=（y+1）（y﹣1），是因式分解，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
　
【变式 1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）2=x2+2x+1 D．x2﹣x=x（x﹣1）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
1
【解答】解：A、是整式的乘法，故 A 不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 不符合题意；
C、是整式的乘法，故 C 不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，判断的依据是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【变式 2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2 B．4a2b3=4a2•b3
C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2 D．
【分析】C 选项左边是多项式，右边的乘积式，符合因式分解的定义，其它选项不符合因式分解的定义，
不是因式分解，可得答案．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2 不符合因式分解的定义；
B、4a2b3=4a2•b34a2b3=4a2•b3不符合因式分解的定义；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2左边是多项式，右边的乘积式，符合因式分解的定义；
D、不符合因式分解的定义．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义；严格按照定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
知识点二 用提公因式法分解因式 【重点】
1.公因式定义：多项式 ma+mb+mc 中，各项都含有一个公共的因式 m，因式 m叫做这个多项式各项的公因
式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
① 定系数，即确定各项系数的最大公约数；
② 定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③ 定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂
3.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式
乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．µµµµ
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）先确定公因式；
（2）把多项式的每一项都写成公因式与另一个因式的积的形式
2
（3）把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和的形式。
【例题 1】多项式 a2﹣9 与 a2﹣3a 的公因式是（　　）
A．a+3 B．a﹣3 C．a+1 D．a﹣1
【分析】根据平方差公式分解 a2﹣9，再根据提公因式法分解 a2﹣3a，即可找到两个多项式的公因式．
【解答】解：a2﹣9=（a﹣3）（a+3），
a2﹣3a=a（a﹣3），
故多项式 a2﹣9 与 a2﹣3a 的公因式是：a﹣3，
故选：B．
【点评】主要考查了分解因式的实际运用，解此题的关键是把 a2﹣9 与 a2﹣3a 进行因式分解．
【例题 2】分解因式 x3+4x 的结果是（　　）
A．x（x2+4） B．x（x+2）（x﹣2） C．x（x+2）2 D．x（x﹣2）2
【分析】直接提取公因式 x，进而分解因式即可．
【解答】解：x3+4x=x（x2+4）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式 1】多项式 12ab3c+8a3b 的各项公因式是（　　）
A．4ab2 B．4abc C．2ab2D．4ab
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：12ab3c+8a3b=4ab（3b2+2a2），
4ab 是公因式，
故选：D．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大
公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别
忘了“﹣1”．
【变式 2】多项式 2ax2﹣12axy 中，应提取的公因式是　 2ax 　 ．
3
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