12.3 角的平分线的性质讲义 教师版

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12.3 角的平分线的性质
一、教学目标
（1）知识与技能目标：会作一个角的平分线，并掌握角平分线的性质及判定；
（2）过程与方法目标：综合运用角的平分线的性质及判定解决相关问题；
（3）情感态度与价值观：通过作三角形的角平分线，了解三角形三条角平分线交于一点的事实；
二、教学重难点
（1）教学重点：角平分线的性质及其应用
（2）教学难点：灵活应用两个性质解决问题
知识点一：作已知角的平分线
用尺规作图法作已知角的平分线的步骤：
（1）以点 O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 OA，OB 于M、N两点；
（2）分别以点 M,N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C；
（3）画射线 OC.
则射线 OC 就是∠AOB 的平分线.
提醒：①作已知角的平分线的方法很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法.
②用尺规作图法作已知角的平分线是依据“SSS”定理构造一对全等的三角形.
1
③在上面的步骤（2）中，若以小于 MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点；以等于 MN 的长为半径
画弧时，两弧虽有交点，但交点不明显，不利于下一步的作图. 所以必须要求“以大于 MN 的长为半
径”.
例1.如图，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB 的补角，并作出这个补角的平分线.
解析：根据补角的定义，只要反向延长线∠AOB 的一边即可得到其补角，然后再按作已知角的平分线的步
骤进行即可.
作法：（1）如图，反向延长射线 OB，得射线 OC，则∠AOC 与∠AOB 互补；
（2）以点 O为圆心，任意长为半径画弧，交 OC，OA 于E，F两点；
（3）分别以点 E，F为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 D；
（4）作射线 OD，射线 OD 为∠AOB 的补角∠AOC 的平分线.
点评：在用尺规作图法作图时，要充分利用已有知识，通过分析与比较找出最优操作步骤，如本题运用邻
补角的知识，通过一步就作出了已知角的补角.
变式 1.如图，已知∠AOB，求作射线 OC，使 OC 平分∠A0B,作法的合理顺序是：①作射线 0C；②以 O为
圆心，适当长为半径画弧交 0A,OB 于D,E；③分别以 D,E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在∠AOB
内，两弧交于点 C.
A. B. C. D. ① ② ③ ② ① ③ ② ③ ① ③ ② ①
2
答案：C
变式 2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）
A．OE 是∠AOB 的平分线 B．OC=OD
C．点 C、D到OE 的距离不相等 D．∠AOE= BOE∠
答案：C
解析：解：根据尺规作图的画法可知：OE 是∠AOB 的角平分线．
A、OE 是∠AOB 的平分线，A正确；
B、OC=OD，B正确；
C、点 C、D到OE 的距离相等，C不正确；
D、∠AOE= BOE∠，D正确．
故选：C．
点评：本题考查了尺规作图中的作角的平分线以及角平分线的性质，解题的关键是逐项分析四个选项．本
题属于基础题，难度不大，牢记尺规作图的方法和步骤是关键．
3
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