【初中数学】第16讲 因式分解综合 （解析版）

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第16 讲 因式分解综合
【学习目标】
本部分内容包括因式分解的有关概念，因式分解的常用基本方法．因式分解在代数学习中具有基础作
用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方程方面都起着重要作用．通过学习，可以培养学生
的观察、分析、运算能力．
【基础知识】
一、因式分解基本概念
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也
可称为将这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．
二、四种基本方法：
1、提取公因式法：多项式 各项都含有公因式 ，可把公因式 提到外面，
将多项式 写成 与 的乘积形式，此法叫做提取公因式法．
提取公因式的步骤：
（1）找出多项式各项的公因式．
（2）提出公因式．
（3）写成 与 的乘积形式．
提取公因式法的几个技巧和注意点：
（1）一次提净．
（2）视“多”为“一”．
（3）切勿漏 1．
（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．
（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ．
（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．
2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．
（1）平方差公式：
由平方差公式反过来可得： ，这个公式叫做因式分解的平方差公式；
（2）完全平方公式：
由完全平方公式反过来可得： 和 ，这两个公式叫做因式分
解的完全平方公式．
3、十字相乘法：如果二次三项式 中的常数项 能分解成两个因式 、 的积，而且一次项系数
又恰好是 ，那么 就可以进行如下的分解因式，即：
1
要将二次三项式 分解因式，就需要找到两个数 、
，使它们的积等于常数项 ，和等于一次项系数 , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：
．
这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
4、分组分解法：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．
【考点剖析】
考点一：选择题
例1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断 B正确．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】C
【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断 C正确．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例3．下列各式的分解因式：
1；② ；
③ ；④ 其中正确的个数有（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
【难度】★
【答案】B
2
【解析】其中①应该为 ；②应该为 ；③不能因式分解．
【总结】本题主要考查因式分解的概念．
例4．多项式 各项的公因式是（ ）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】根据公因式的定义．
【总结】本题主要考查公因式的概念．
例5．已知多项式 分解因式为 ，则 、 的值为（ ）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】 ．
【总结】考查整式的乘法以及待定系数法．
例6．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A、B、C、D、
【难度】★
【答案】B
【解析】B选项变形可得 ．
【总结】考查平方差公式的定义．
例7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、B、
C、D、
【难度】★
【答案】D
【解析】D选项变形为 ．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用．
例8．已知正方形的面积是 （ ），则正方形的边长是（ ）
A、B、C、D、
【难度】★★
【答案】B
3
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