【初中数学】第14讲 十字相乘法 （解析版）

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第14 讲 十字相乘法
【学习目标】
十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘
法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行分解因式之后，
自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种
分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式
的分解因式方法，能直接运用于某些形如 这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解
一元二次方程和确定二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了
基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位．
【基础知识】
十字相乘法：如果二次三项式 中的常数项 能分解成两个因式 、 的积，而且一次项系数
又恰好是 ，那么 就可以进行如下的分解因式，
即： 要将二次三项式 分解因式，就需要找到两
个数 、 ，使它们的积等于常数项 ，和等于一次项系数 , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，
即： ．由于把 中的 分解成两个因数有多种情况，
怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．
【考点剖析】
例1．如果 ，那么 p等于（ ）．
A．ab B．C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】 ．
【总结】利用十字相乘法以及待定系数．
例2．不能用十字相乘法分解的是（ ）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】根据系数非负，无法把二次项系数和常数项分解之后其之和等于 1，判断出 D．
【总结】直接利用十字相乘法以及待定系数．
例3．分解因式：（1） ； （2） ．
1
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例4．分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例5． 为下列各数时，将关于 的多项式 分解因式．
（1） ； （2） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ；
（2） ．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例6．分解因式：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例7．分解因式：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】直接十字相乘即可．
【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．
例8．分解因式：
2
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式 ．
【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式．
例 9．分解因式：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】（1）原式 ；
（2）原式
．
【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式，另外注意因
式分解一定要分解到不能分解为止．
例10．分解因式： ．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】原式 ．
【总结】本题主要是利用提取公因式法和公式法分解因式，注意因式分解一定要分解到不能分解为止．
例11．分解因式： ．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】原式 ．
【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．
例12．分解因式：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
3
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