【初中数学】第13讲 提取公因式法、公式法分解因式（解析版）

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第13 讲 提取公因式法、公式法分解因式
【学习目标】
学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆
向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础．本章教材是在
学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联
系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变
形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，
提取公因式法和公式法是因式分解的基本而又重要的两种方法．
【基础知识】
一：提取公因式法
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也
叫做把这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．
2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．
3、提取公因式法：多项式 各项都含有公因式 ，可把公因式 提到外面，
将多项式 写成 与 的乘积形式，此法叫做提取公因式法．
4、提取公因式的步骤：
（1）找出多项式各项的公因式．
（2）提出公因式．
（3）写成 与 的乘积形式．
6、提取公因式法的几个技巧和注意点：
（1）一次提净；
（2）视“多”为“一”；
（3）切勿漏 1；
（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；
（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；
（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．
二：公式法
1、平方差公式：
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．
2、完全平方公式：
①左边相当于一个二次三项式；
1
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的 2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．
【考点剖析】
考点一：提取公因式法
例1．判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【难度】★
【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是．
【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式．
【总结】本题主要考查因式分解的定义．
例2．指出下列各式中的公因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式．
【总结】本题主要考查公因式的定义．
例3．分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ； （2） ；
（3） ．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，
并注意其它项的符号的变化．
2
例4．分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【难度】★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ； （2） ；
（3） ．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母
的最低次幂．
例5．分解因式： ．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】 ．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相
同，并且让系数变为整数．
例6．把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ；
（2）原式 ；
（3）原式 ．
【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意要进行合并．
3
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