《中考数学一轮复习重点题型归纳》考点06 二次函数面积最值法-铅锤定理（解析版）

3.0 envi 2025-04-23 21 4 254.5KB 5 页 3知币
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C
B
A O
y
x
D
B
A O
y
x
P
考点 6 二次函数面积最值法-----铅锤定理（解析）
铅锤定理：
对于规则三角形求面积，可以直接求解，但对于不规则三角形求面积利用铅锤定理（切割法论证 ),
便会轻松求解。
例1．如图 1，在直角坐标系中，点 A的坐标为（－2，0），连结
OA，将线段 OA 绕原点 O顺时针旋转 120°，得到线段 OB.
（1）求点 B的坐标；
（2）求经过 A
、
O
、
B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△BOC 的周长最小？
若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点 P是（2）中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出
此时 P点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.
图
-1
解：（1）B（1， ）
（2）设抛物线的解析式为 y=ax(x+a)，代入点 B（1, ），得 ，因此
（3）如图，抛物线的对称轴是直线 x=—1，当点 C位于对称轴与线段 AB 的交点时，△BOC 的周长最小.
设直线 AB 为y=kx+b.所以 ，因此直线 AB 为 ，当 x=－1时，
1
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
铅锤定理
，因此点 C的坐标为（－1，/3）.
（4）如图，过 P作y轴的平行线交 AB 于D.
当x=－ 时，△PAB 的面积的最大值为 ，此时 .
例2．如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x轴于点 A(3,0)，交 y轴于点 B.
(1) 求抛物线和直线 AB 的解析式；
(2) 点 P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P点运动到顶点 C时，求△CAB 的铅
垂高 CD 及 ；
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB=S△CAB，若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解 ： (1) 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： 把
A（3,0）代入解析式求得 所以
设 直 线 AB 的 解 析 式 为 ： 由 求 得 B点 的 坐 标 为 把 ，
代入 中，解得： 所以
2
图-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
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