《中考数学特训营》常考压轴10 存在性问题（解析版）

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【十大常考压轴题特训】
特训
10 —— 存在性问题
题量﹕10 题；分值﹕每小题 10 分，共计 100 分；推荐时间﹕120 分钟
问题 1．(2019 江苏省徐州市)
如图，平面直角坐标系中， 为原点，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上． 的两条外角平分
线交于点 ， 在反比例函数 的图象上． 的延长线交 轴于点 ， 的延长线交 轴于点 ，连
接 ．
（1）求 的度数及点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3） 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵AP，BP 是△AOB 两条外角的角平分线，
∴∠PAB=∠PAY，∠PBA=∠ABX，
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAY+∠ABX=270°，
∴∠PAB+∠PBA=135°，∴∠APB=45°.
y
x
H
D
C
B
N
P
O
A
第28 题答图①
过点 P作PH⊥AB 于H，∴∠PMA=∠PHA=90°，
1
∵∠MAP=∠HAP，PH=PH，
∴△PMA≌△PHA，
∴PM=PH，
同理可证△PHB≌△PNB，
∴PH=PN，
∴PM=PN，
设P点的坐标为（a，），则 a=，解得 a=3，（取正值）
∴P点的坐标为（3，3）；
（2）∵PM=PN=3，
∴四边形 PMON 为正方形，连接 OP，
∴∠5=∠6=45°，OP=3，
y
x
8
7
6
5
4
3
2
1
D
C
B
N
M
P
O
A
第28 题答图②
∵∠CPD=45°，∴∠7+8=45°，
∵PM∥BC，PN∥OM，
∴∠3=∠7，∠4=∠8，∴∠3+∠4=45°，
∵∠5=∠4+∠2=45°，
∴∠2=∠3，同理∠1=∠4，
∴△POC∽△DOP，
∴，∴OP2=OC×OD，∴OC×OD=18，
∴.
（3） 设BN=x，AM=y，∴OA=3-y，OB=3-x，
由（1）可知：AB=x+y，
∵OA2+OB2=AB2，∴(3-x)2+(3-y)2=(x+y)2，整理得：xy=9-3x-3y，
∴y=，
2
，
设，整理，得：
∵x是实数，∴△= ≥ 0，
解得 k ≥ 9+6，或 k 9-6，
∵△OAB 的面积不可能大于 9，∴k ≤9 - 6
∴的最大值为 27-18.
y
x
A
N
M
P
O
B
第28 题答图③
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行
线分线段成比例定理，基本不等式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
问题 2．(2019 山东省东营市)
已知抛物线 y＝ax2＋bx﹣4 经过点 A（2，0）、B（﹣4，0），与 y轴交于点 C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求点 P的坐标；
（3）如图 2，线段 AC 的垂直平分线交 x轴于点 E，垂足为 D，M为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一
点G，使△CMG 的周长最小？若存在，求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线 y＝ax＋bx﹣4 经过点 A（﹣2，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为 y＝ x2+x﹣4；
3
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