《中考数学特训营》常考压轴07 函数应用问题（解析版）

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【十大常考压轴题特训】

特训

07 —— 函数应用问题

题量﹕10 题；分值﹕每小题 10 分，共计 100 分；推荐时间﹕45 分钟

问题 1．(2019 湖北省荆门市)

为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市

销售的 30 天中，其销售价格 m（元/公斤）与第 x天之间满足 m＝（x为正整数），销售量 n（公斤）与第 x天

之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为 80 元．

（1）求销售量 n与第 x天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的 30 天中，每天的销售利润 y与第 x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额

﹣日维护费）

（3）求日销售利润 y的最大值及相应的 x．

【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．

（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量 n与第 x天之间的函数关系式，

（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价－进价），列出每天的销售利润 y与第 x天之间的函数关系式，

（3）再依据函数的增减性求得最大利润．

【解析】（1）当 1≤x≤10 时，设 n＝kx＋b，由图知可知

，解得

∴n＝2x＋10

同理得，当 10＜x≤30 时，n＝﹣1.4x＋44

∴销售量 n与第 x天之间的函数关系式：n＝

（2）∵y＝mn 80﹣

∴y＝

整理得，y＝

（3）当 1≤x≤10 时，

∵y＝6x2＋60x＋70 的对称轴 x＝＝＝－5

∴此时，在对称轴的右侧 y随x的增大而增大

∴x＝10 时，y取最大值，则 y10＝1270

当10＜x＜15 时

∵y＝﹣4.2x2＋111x＋580 的对称轴是 x＝＝＝≈13.2＜13.5

∴x在x＝13 时，y取得最大值，此时 y＝1313.2

当15≤x≤30 时

∵y＝1.4x2149﹣x＋3220 的对称轴为 x＝＝＞30

∴此时，在对称轴的左侧 y随x的增大而减小

∴x＝15 时，y取最大值，y的最大值是 y15＝1300

综上，草莓销售第 13 天时，日销售利润 y最大，最大值是 1313.2 元

【点评】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要

吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求

最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 x＝时取得．

问题 2．(2019 湖北省十堰市)

某超市拟于中秋节前 50 天里销售某品牌月饼，其进价为 18 元/kg．设第 x天的销售价格为 y（元/kg），销

售量为 m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 1≤x≤30 时，y＝40；当 31≤x≤50 时，

y与x满足一次函数关系，且当 x＝36 时，y＝37；x＝44 时，y＝33．② m与x的关系为 m＝5x＋50．

（1）当 31≤x≤50 时，y与x的关系式为　　；

（2）x为多少时，当天的销售利润 W（元）最大？最大利润为多少？

（3）若超市希望第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上

涨a元/kg，求 a的最小值．

【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．

（1）依据题意利用待定系数法，易得出当 31≤x≤50 时，y与x的关系式为：y＝－x＋55，

（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数

关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．

（3）要使第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x的增大而增大，则对称轴＝≥35，求得 a即可

【解析】（1）依题意，当 x＝36 时，y＝37；x＝44 时，y＝33，

当31≤x≤50 时，设 y＝kx＋b，

则有，解得

∴y与x的关系式为：y＝－x＋55

（2）依题意，

∵W＝（y18﹣ ）•m

∴

整理得，

当1≤x≤30 时，

∵W随x增大而增大

∴x＝30 时，取最大值 W＝30×110＋1100＝4400

当31≤x≤50 时，

W＝－x2＋160x＋1850＝

∵－＜0

∴x＝32 时，W取得最大值，此时 W＝4410

综上所述，x为32 时，当天的销售利润 W（元）最大，最大利润为 4410 元

（3）依题意，

W＝（y＋a－18）•m＝

∵第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x的增大而增大

∴对称轴 x＝＝≥35，得 a≥3

故a的最小值为 3．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我

们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值

范围内求最大值（或最小值）．

问题 3．(2019 山东省临沂市)

汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库 20h内水位的变化情况，其中 x表示时间（单位：h），y表示水位高

度（单位：m），当 x＝8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水．

x/h0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

y/m14 15 16 17 18 12 9 8

（1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点．

（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．

（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到 6m．

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