《中考数学特训营》常考压轴05 最值问题（解题策略指导）

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【十大常考压轴题特训】
解题策略指导
05 —— 最值问题
最值问题，可以说是中考数学中最最常见的压轴题．选择、填空、解答各种题型中都有它
的影子，可以说全国各大城市的中考数学试卷中几乎都少不了它．它几乎成了压轴题的代名
词．这种题型的特点，难度大，是它最大的特点，其次是这种题型思路比较特别，比较固定，
第三个特点就是多数这种问题的综合性较强，牵扯的知识点较多．第四个特点就是这种最值
问题绝大多数都与动点有关．现在，比较常见的最值问题，大致可以分为以下几种﹕将军饮
马问题、阿氏圆问题、胡不归问题、费马点问题，当然还有一些其他的．
★策略一﹕将军饮马问题——作轴对称★
【问题简述】
如图，在直线上找一点 P使得 PA＋PB 最小？
P
B
A
【问题分析】
这个问题的难点在于 PA＋PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，
我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需
转化问题，将折线段变为直线段．
作点 A关于直线的对称点 A'，连接 PA'，则 PA'＝PA，所以 PA＋PB＝PA'＋PB
1
A
'
A
B
P
当A'、P、B三点共线的时候，PA'＋PB＝A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
折点
端点
A
P
B
A
作端点（点 A或点 B）关于折点（上图 P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
★策略二﹕阿氏圆问题——构造母子相似三角形★
阿氏圆问题一类形如求 PA＋kPB 一类最小值问题，我们只要构造一对母子相似的三角形，
其相似比为 k,将其中的 kPB 找与 PB 对应的那条边来实施等量代换，这样就把原问题转化为
PA＋PC 的最小值问题，然后利用两点之间线段最短来求解即可．
【经典例题】
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点 C为圆心，2为半径作圆 C，
分别交 AC、BC 于D、E两点，点 P是圆 C上一个动点，则 的最小值为__________．
2
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