《中考数学特训营》常考压轴04 阴影面积问题（解析版）

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【十大常考压轴题特训】

特训

04 —— 阴影面积问题

题量﹕20 题；分值﹕每小题 5分，共计 100 分；推荐时间﹕45 分钟

问题 1．（2019 年内蒙古鄂尔多斯市）

如图，中，，以为直径的⊙O分别与，交于点，，连接，过点

作于点．若，，则阴影部分的面积是　　．

【分析】根据即可求解．

【解答】解：连接 OE，

∵∠CDF＝15 °，∠C＝75 °，∴∠OAE＝∠OEA＝30 °，

∴∠AOE＝120 °＝，

＝π × －＝3 π －．

故答案 3 π －．

【点评】本题考查扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分

割法求阴影部分的面积．

问题 2．（2019 年四川省宜宾市）

如图， ∠ EOF 的顶点 O是边长为 2 的等边 △ ABC 的重心， ∠ EOF 的两边与 △ ABC 的边交于

E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF 与△ABC 的边所围成阴影部分的面积是（　　）

A．B．C．D．

【分析】连接 OB、OC，过点 O作ON⊥BC，垂足为 N，由点 O是等边三角形 ABC 的内心可以得到

∠OBC＝∠OCB＝30°，结合条件 BC＝2即可求出△OBC 的面积，由∠EOF＝∠BOC，从而得到∠EOB＝

∠FOC，进而可以证到△EOB≌△FOC，因而阴影部分面积等于△OBC 的面积．

【解答】连接 OB、OC，过点 O作ON⊥BC，垂足为 N，

∵△ABC 为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵点 O为△ABC 的内心

∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．

∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．

∴OB＝OC．∠BOC＝120°，

∵ON⊥BC，BC＝2，

∴BN＝NC＝1，

∴ON＝tan∠OBC•BN＝×1＝，

∴S△OBC＝BC•ON＝．

∵∠EOF＝∠AOB＝120°，

∴∠EOF﹣∠BOF＝∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC．

在△EOB 和△FOC 中，

，

∴△EOB≌△FOC（ASA）．

∴S阴影＝S△OBC＝

故选：C．

【点评】

此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、

三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．

问题 3．（2019 山西省中考）

如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝2，以 AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作

半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（）

A. B. C. D.

【分析】阴影部分的面积可以用 S阴影＝S△ABC－S△AOD－S扇形 BOD 来计算．

【解答】作DE⊥AB 于点 E，连接 OD，在 Rt△ABC 中：tan∠CAB＝,

∴∠CAB＝30°，∠BOD＝2∠CAB＝60°.

在Rt△ODE 中：OE＝OD＝，DE＝OE＝.

S阴影＝S△ABC－S△AOD－S扇形 BOD＝

＝ × 2×2 － ×× －，

故选 A

【点评】本题主要考查了扇形面积公式、三角函数、解直角三角形、圆周角与圆心角的关系等知识．难

度中等．

问题 4．（2019 江苏省扬州市）

如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A顺时针旋转 45°至四边形 AB′C′D′的位置，若 AB＝16cm，则图

中阴影部分的面积为　　 cm2．

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