《中考数学特训营》常考压轴02 三角函数值问题（解析版）

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【十大常考压轴题特训】

特训

02 —— 三角函数值问题

题量﹕10 题；分值﹕100 分；推荐时间﹕45 分钟

问题 1. (2019 上海市)

如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，

那么的正切值是　　．

【分析】由折叠可得 AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到 ∠AEB＝

∠EDF，进而得到 tan∠EDF＝tan∠AEB＝．

【解答】

如图所示，由折叠可得 AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝∠AEF，

∵正方形 ABCD 中，E是AD 的中点，

∴AE＝DE＝AD＝AB，

∴DE＝FE，

∴∠EDF＝∠EFD，

又∵∠AEF 是△DEF 的外角，

∴∠AEF＝∠EDF＋∠EFD，

∴∠EDF＝∠AEF，

∴∠AEB＝∠EDF，

∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等．

问题 2． (2019 四川省自贡市)

如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则 cos（α＋β）＝　　．

αβ

【分析】给图中各点标上字母，连接 DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同

理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC＋∠CED 可得出∠AED＝

90°，设等边三角形的边长为 a，则 AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出 AD 的长，再结合余弦的定义即可

求出 cos（α＋β）的值．

αβ

【解答】给图中各点标上字母，连接 DE，如图所示．

在△ABC 中，∠ABC＝120°，BA＝BC，

∴∠α＝30°．

同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．

又∵∠AEC＝60°，

∴∠AED＝∠AEC＋∠CED＝90°．

设等边三角形的边长为 a，则 AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，

∴AD＝＝a，

∴cos（α＋β）＝.

故答案为：.

【点评】本题考查了锐角三角函数的概念、解直角三角形、等边三角形的性质，巧妙地将构造出一个等于∠α

的角，将∠α转移到与∠β共顶点且共边的角上，将∠α、∠β合二为一．然后添加辅助线构造直角三角形，再

利用解直角三角形的方法求解问题，本题的关键有二，其一将是解题的关键∠α转移到与∠β共顶点且共边的

角上，其二是添加辅助线构造直角三角形．

问题 3．（2019 江苏省淮安市）

如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，H是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点 B落在矩形内

点P处，连接 AP，则 tan∠HAP＝　．

【分析】连接 PB，交 CH 于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到 CH 垂直平分

BP，∠APB＝90°，即可得到 AP∥HE，进而得出∠BAP＝∠BHE，依据 Rt△BCH 中，tan∠BHC＝＝，

即可得出 tan∠HAP＝．

【解答】解：如图，连接 PB，交 CH 于E，

由折叠可得，CH 垂直平分 BP，BH＝PH，

又∵H为AB 的中点，

∴AH＝BH，

∴AH＝PH＝BH，

∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，

又∵∠HAP＋∠HPA＋∠HBP＋∠HPB＝180°，

∴∠APB＝90°，

∴∠APB＝∠HEB＝90°，

∴AP∥HE，

∴∠BAP＝∠BHE，

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