《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第12讲主从联动模型（解析版）

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中考数学几何模型 12：主从联动模型
名师点睛① 当轨迹为直线时
思考 1
如图，P是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P在BC 上运动时，
Q点轨迹是？
P
Q
A
B
C
N
C
B
A
Q
M
揭秘：将点 P看成主动点，点 Q看成从动点，当 P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过 A、Q向BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，因为 AP=2AQ，
所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q点到 BC 的距离是定值，故 Q点轨迹是一条直线，且 Q点运动
路径长为 P点运动路径长的一半．
思考 2
如图，点 C为定点，点 P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ 为定值，当点 P在直线
AB 上运动，请探究点 Q的运动轨迹.
1
揭秘：当CP 与CQ 夹角固定，且 AP=AQ 时，P、Q轨迹是同一种图形，且 PP1=QQ1．
可以这样理解：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知 Q点轨迹为一条直线.
思考 3
如图，点 C为定点，点 P是直线 AB 上的一动点，以 CP 为斜边作 Rt△CPQ，且
∠P=30°，当点 P在直线 AB 上运动，请探究点 Q的运动轨迹.
揭秘：条件 CP 与CQ 夹角固定时，P、Q轨迹是同一种图形，且有 ．
可以这样理解：由 CPQ∽△CP1Q1，易得△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知 Q点轨迹为
一条直线.
总结
2
轨迹是直
线
条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量．
结论：
① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；
② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角
③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；
④ 当主动点、从动点到定点的距离不相等时， .
典题探究 启迪思维 探究重点
例题 1. 如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点 P从点 E出发沿 EA 方向运动，连结 PD，以
PD 为边，在 PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点 P从点 E运动到点 A时，点 F运动的路径长
是________．
A
B
C
D
E
F
P
【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知 F点运动路径长与 P点相同，P从E点运动到 A点路径长为
8，故此题答案为 8．
变式练习>>>
1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点 B是y轴正半轴上一动点，以 AB 为边在 AB 的下
方作等边△ABP，点 B在y轴上运动时，求 OP 的最小值．
P
O
A
B
x
y
3
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