《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第10讲胡不归最值模型（解析版）

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中考数学几何模型 10：胡不归最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如 PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如
“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最
短”，虽然从他此刻位置 A到家 B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了
气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”
（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道 AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
V
1
V
2
V
1
驿道
砂石地
A
B
C
【模型建立】
如图，一动点 P在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1<V2，A、B为定点，
点C在直线 MN 上，确定点 C的位置使 的值最小．
1
V
2
V
1
M
N
C
B
A
【问题分析】
，记 ，即求 BC+kAC 的最小值．
【问题解决】
构造射线 AD 使得 sin∠DAN=k，即 ，CH=kAC．
CH=kAC
sin
α
=
CH
AC
=k
H
D
α
A
B
C
N
M
将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B点作 BH⊥AD 交MN 于点 C，交 AD 于H点，此时 BC+CH 取到最小
值，即 BC+kAC 最小．
M
N
C
B
A
α
D
H
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为
2
“PA+PC”型．而这里的 PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 kPB 的等线段．
典题探究 启迪思维 探究重点
例 题 1. 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=AC=10 ，tanA=2 ，BE⊥AC 于 点 E，D是 线 段 BE 上 的 一 个 动 点 ， 则
的最小值是_______．
A
B
C
D
E
H
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
H
【分析】本题关键在于处理“ ”，考虑 tanA=2，△ABE 三边之比为 ， ，故作
DH⊥AB 交AB 于H点，则 ．问题转化为 CD+DH 最小值，故 C、D、H共线时值最小，此时
．
【小结】本题简单在于题目已经将 BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线 DH，即可解决问
题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造 α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
α
sin
α
=
5
5
H
E
D
C
B
A
E
D
C
B
变式练习>>>
1．如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边 CD 上的一动点，则 的最
小值等于________．
3
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