《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第8讲费马点最值模型（解析版）

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中考数学几何模型 8：费马点最值模型 TH
名师点睛 拨开云雾 开门见山
费马尔问题思考：
如何找一点 P使它到△ABC 三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
1
费马点的定义：数学上称，到三角形 3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于 120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果 3个内角均小于 120°，则在三角形内部对 3边张角均为 120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是 运用
旋转变换．
秘诀：以△ ABC
任意一边为边向外作等边三角形 ，这条边所对两顶点的距离即为最小值
典题探究 启迪思维 探究重点
例题 1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC= AGB= BGC=120°.∠ ∠
求证：GA+GB+GC 的值最小.
证明：将△BGC 逆时针旋转 60°，连 GP,DB.则 △CGB CPD≌△ ；
∴ ∠CPD= CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC, GCB= PCD.∠ ∠ ∠
∵ ∠GCP=60°,
∴ ∠BCD=60°,
∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。
∵ ∠AGC=120°, CGP=60°.∠
∴ A、G、P三点一线。
∵ ∠CPD=120°, CPG=60°.∠
∴ G、P、D三点一线。
∴ AG、GP、PD 三条线段同在一条直线上。
∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点
变式练习>>>
1．如图， 是边长为 1的等边 内的任意一点，求 的取值范围.
2
解：将 绕点 顺时针旋转 60°得到 ，
易知 为等边三角形.
从而
（两点之间线段最短），从而 .
过 作 的平行线分别交 于点 ，
易知 .
因为在 和 中，
①，
②。
又 ，所以 ③.
①+ +② ③ 可得
，
即.综上， 的取值范围为 .
例题 2. 已知正方形 ABCD 内一动点 E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求正方形的边长．
解 如图 2，连接 AC，把△AEC 绕点 C顺时针旋转 60°，得到△GFC，连接 EF、BG、AG，
可知△EFC、△AGC 都是等边三角形，则 EF=CE．又 FG=AE，
∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点B、点 G为定点（G为点 A绕C点顺时针旋转 60°所得）．
∴ 线段 BG 即为点 E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时 E、F两点都在 BG 上．
设正方形的边长为 ，那么
3
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