《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第5讲角含半角模型（解析版）

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中考数学几何模型 5：角含半角模型 TH

名师点睛拨开云雾开门见山

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角

模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折

目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

（1）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D，E在BC 上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（1）作法 1：将△ABD 旋转 90° 作法 2：分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在BC 上，点 E在BC 延长线上，且∠DAE=45°，

则：BD2+CE2=DE2.

图示（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

任意等腰三角形

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC，CD 上，∠EAF=45°，连接 EF，过点 A作AG⊥于

EF 于点 G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1）作法：将△ABE 绕点 A逆时针旋转 90°

（2）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 CB，DC 的延长线上，∠EAF=45°，连接 EF，则：

EF=DF-BE.

图示（2）作法：将△ABE 绕点 A逆时针旋转 90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形 ABCD 中，

AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点 E，F分别在边 BC，CD 上，∠EAF= ∠BAD，连接 EF，则：

EF=BE+DF.

图示（3）作法：将△ABE 绕点 A逆时针旋转∠BAD 的大小

典题探究启迪思维探究重点

例题 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F分别在 AB，AD 上，若 CE＝5，且∠ECF＝45°，则 CF

的长为　 4 　．

【解答】解：如图，延长 FD 到G，使 DG＝BE；连接 CG、EF；

∵四边形 ABCD 为正方形，在△BCE 与△DCG 中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，

在△GCF 与△ECF 中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，

∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，

设AF＝x，则 DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，

∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即 AF＝，∴DF＝4﹣ ＝，

∴CF＝＝＝4，

故答案为：4．

变式练习>>>

1．如图四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD 上一点，且

∠BAE＝45°．若 CD＝4，则△ABE 的面积为（　　）

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