《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第4讲中点模型（解析版）

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中考数学几何模型 4：中点模型

名师点睛拨开云雾开门见山

中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点

等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中

位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合

四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或

相似模型，与倍长中线法相通。

典题探究启迪思维探究重点

例题 1. 如图，在△ABC 的两边 AB、AC 向形外作正方形 ABDE 和ACFG，取 BE、BC、CG 的中点 M、Q、

N．求证：MQ＝QN．

【解答】证明：连接 BG 和CE 交于 O，

∵四边形 ABDE 和四边形 ACFG 是正方形，

∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，

∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，

在△BAG 和△EAC 中，，

∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．

∵BE、BC、CG 的中点 M、Q、N，

∴MQ＝CE，QN＝BG，

∵BG＝CE，

∴QN＝MQ．

变式练习>>>

1. 如图，在△ACE 中，点 B是AC 的中点，点 D是CE 的中点，点 M是AE 的中点，四边形 BCGF 和四边

形CDHN 都是正方形．求证：△FMH 是等腰直角三角形．

【解答】证明：连接 MB、MD，设 FM 与AC 交于点 P，

∵B、D、M分别是 AC、CE、AE 的中点，四边形 BCGF 和四边形 CDHN 都是正方形，

∴MD∥AC，且 MD＝AC＝BC＝BF；

MB∥CE，且 MB＝CE＝CD＝DH，

∴四边形 BCDM 是平行四边形，

∴∠CBM＝∠CDM，

又∵∠FBP＝∠HDC，

∴∠FBM＝∠MDH，

在△FBM 和△MDH 中，

∴△FBM≌△MDH（SAS），

∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．

∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，

∵BM∥CE，

∴∠AMB＝∠E，

同理：∠DME＝∠A．

∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，

∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）

＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）

＝∠FBC＝90°，

∴△FMH 是等腰直角三角形．

例题 2. 如图，已知 BD、CE 分别是△ABC 的AC、AB 边上的高，G、F分别是 BC、DE 的中点．求证：

GF⊥DE．

【解答】证明：如图，连接 EG、DG，

∵BD、CE 分别是△ABC 的AC、AB 边上的高，点 G是BC 的中点，

∴DG＝EG＝BC，∵点 F是DE 的中点，∴GF⊥DE．

变式练习>>>

2. 如图，在△ABC 中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作 PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E，求证：DE 的垂

直平分线必过 BC 的中点 M．

【解答】解：取 BC，PB，PC 的中点 M，N，F，连接 MN，MF，E，DN，DM，EM，

∴MF＝BP，MN＝PC，MF∥PN，MN∥PF，

∴四边形 NMFP 是平行四边形，

∴∠PNM＝∠PFM，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，

∴DN＝PB，EF＝PC，

∴DN＝MF，MN＝EF，

∵∠DNP＝2∠ABP，∠PFE＝2∠ACD，

∵∠ABP＝∠ACD，

∴∠DNP＝∠PFE，

∴∠DNM＝∠EFM，

在△DNM 与△MFE 中，，

∴△DNM≌△MFE，

∴DM＝EM，

∴△DME 是等腰三角形，

∴底边 DE 的垂直平分线（过 M点）必是 BC 的中点 M．

例题 3. 已知：AD 为△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，AB＝BD，求证：AC＝2AE．（两种证法）

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