《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第3讲对角互补模型（解析版）

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中考数学几何模型 3：对角互补模型

名师点睛拨开云雾开门见山

共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含 90°的对角互补，含 120°的对

角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两

种：旋转法和过顶点作两垂线.

类型一：含 90°的对角互补模型

（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，则有以下结论：

；

作法 1 作法 2

（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D时，则有以

下结论：

；

作法 1 作法 2

类型二：含 120°的对角互补模型

（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则有以下结论：

；

作法 1 作法 2

（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，当∠DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D时，则有以

下结论：

；

作法 1 作法 2

典题探究启迪思维探究重点

例题 1. 如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP

绕O点旋转，证明：无论正方形 OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，

并求这个定值．

【解答】解：当 OP∥AD 或OP 经过 C点，

重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即 25，

当OP 在如图位置时，过 O分别作 CD，BC 的垂线垂足分别为 E、F，

如图在 Rt△OEG 与Rt△OFH 中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，

∴△OEG≌△OFH，

∴S四边形 OHCG＝S四边形 OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为 25．

变式练习>>>

1. 角线交于点 O，点 E、F分别在 AB、BC 上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA 的延长线交于点 M，

OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN．

（1）求证：OM＝ON．

（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E为OM 的中点，求 MN 的长．

【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形，

∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，

∴∠OAM＝∠OBN＝135°，

∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠AOM＝∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM＝ON；

例题 2. 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰直角△ABD 和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条

对角线 AC 的长度为 2，求四边形 ABCD 的面积．

【解答】解：将△ABC 绕点 A旋转 90°，使 B与D重合，C到C′点，

则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，

所以 C、D、C′在同一直线上，则 ACDC′是三角形，

又因为 AC＝AC′，

所以△ACC′是等腰直角三角形，

在△ABC 和△ADC′中

∴△ABC≌△ADC′（SAS），

∴四边形 ABCD 的面积等于等腰直角三角形 ACC′的面积，

所以 S四边形 ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．

变式练习>>>

2. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为 12，则 BC+CD=_______.

答案：

例题 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点 P在AC 上，

PM 交AB 于点 E，PN 交BC 于点 F，当 PE＝2PF 时，AP＝　 3 　．

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