《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第2讲共顶点模型（解析版）

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中考数学几何模型 2：共顶点模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角
形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：
（1）寻找公共的顶点
（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边
（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形
*常见结论：
连接 BD、AE 交于点 F，连接 CF，则有以下结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
典题探究 启迪思维 探究重点
例题 1. 以点 A为顶点作等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图 1所示放置，使
得一直角边重合，连接 BD、CE．
（1）试判断 BD、CE 的数量关系，并说明理由；
（2）延长 BD 交CE 于点 F试求∠BFC 的度数；
1
（3）把两个等腰直角三角形按如图 2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：
∵等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE，
∴AE＝AD，AC＝AB，
在△EAC 与△DAB 中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
（2）∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，
∴∠BFC＝180° 90°﹣＝90°；
（3）成立，
∵等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE，
∴AE＝AD，AC＝AB，
在△EAC 与△DAB 中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，
∴∠BFC＝180° 90°﹣＝90°．
变式练习>>>
1. 已知：如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）求证：BD＝AE．
（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形 ABED 的面积．
2
【解答】解：（1）∵△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．
在△BCD 和△ACE 中， ，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，
∴∠EAC+∠APD＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAH+∠ABD＝90°，
∵∠DAE＝∠ABD，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝AE＝10，
∴S四边形 ABED＝10×10÷2＝50．
例题 2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF 分别有公共顶点 A，D，且△ADE，△DBF 都在
△ADB 内，求证：CD 与EF 互相平分.
变式练习>>>
2. 已如图，已知等边三角形 ABC，在 AB 上取点 D，在 AC 上取点 E，使得 AD＝AE，作等边三角形 PCD，
QAE 和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
3
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