《中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)》第1讲截长补短模型（解析版）

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中考数学几何模型 1：截长补短模型

名师点睛拨开云雾开门见山

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以

采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使

其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就

是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知

线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.

典题探究启迪思维探究重点

例题 1. 如图，AB∥CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，若 E在AD 上．

求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．

【解答】证明：如图所示：

（1）∵BE、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AB∥CD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠BEC=90°，

∴BE⊥CE．

（2）在 BC 上取点 F，使 BF=BA，连接 EF．

在△ABE 和△FBE 中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），

∴∠A=∠5．

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

∴∠5+∠D=180，

∵∠5+∠6=180°，

∴∠6=∠D，

在△CDE 和△CFE 中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），

∴CF=CD．

∵BC=BF+CF，

∴BC=AB+CD，

变式练习>>>

1. 已知△ABC 的内角平分线 AD 交BC 于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.

答案：略

例题 2. 已知△ABC 中，∠A=60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD、CE 交于点 O，试判断

BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由．

【解答】解：在 BC 上取点 G使得 CG=CD，

∵∠BOC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）=180°﹣ （180°﹣60°）=120°，

∴∠BOE=∠COD=60°，

∵在△COD 和△COG 中，，

∴△COD≌△COG（SAS），

∴∠COG=∠COD=60°，

∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，

∵在△BOE 和△BOG 中，，

∴△BOE≌△BOG（ASA），

∴BE=BG，

∴BE+CD=BG+CG=BC．

变式练习>>>

2. 已知：△ABC 中，AB=AC，D为△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣ ∠BDC．试判断线段

CD、BD 与AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【解答】解：AB=BD+CD，

理由是：延长 CD 到E，使 DE=BD，连接 AE，

∵∠ADB=90°﹣ ∠BDC，

∴∠ADE=180°﹣（90°﹣ ）﹣∠BDC=90°﹣ ，

∴∠ADB=∠ADE，

在△ABD 和△AED 中

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，

∵AB=AC，

∴AE=AC，

∴△ACE 是等边三角形，

∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．

例题 3. 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA 平分

∠CDE．

【解答】解：连接 AC，延长 DE 到F，使 EF=BC，连接 AF，

∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，

∴CD=FD，

∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，

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