《中考数学复习讲义》第四章 全等三角形 模型（十五）——雨伞模型

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第四章.全等三角形
模型（十五）——雨伞模型
【条件】AP 是∠BAC 的平分线，BO⊥AP
【结论】①△ABO≌△ADO，② AB=AD，③ OB=OD
【证明】
1
典例秒杀
口诀 角平分线+垂线，
轻轻延长等腰现。
典例 1 ☆☆☆☆☆
已知：如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=90º，∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 E，
∠BDC=90º，求证：CE=2BD．
【解析】如图，延长 BD 交 CA 的延长线于点 F，
∵∠BAC=90°, ∴∠BAF=∠BAC= 90º，
∴∠ACE+∠AEC=90°，∵∠BDC=90°,∴∠ABF＋∠BED=90°
∵∠AEC=∠BED, ∴∠ACE=∠ABF.
又∵AB=AC，∴△ACE≌△ABF（ASA）， ∴CE=BF.
∵CD 是∠ACB 的平分线，∠BDC=90°，
∴∠FCD=∠BCD，∠CDF=∠CDB=90°.又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDB（ASA），∴BD=FD= BF
∴BD= CE，即 CE=2BD.
典例 2 ☆☆☆☆☆
如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，AD⊥BE，垂足为 D，
求证∶∠2=∠1+∠C.
【解析】如图，延长 AD 交 BC 于点 F.
2
∵BE 是∠ABC 的平分线，AD⊥BE， ∴AB=FB, ∴∠2=∠AFB.
∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C.
典例 3 ☆☆☆☆☆
如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A（a，0），
B（0，b）两点，且 a，b 满足（a-b）2＋∣a 一 4t∣=0，且 t＞0，t 是常数，
直线 BD 平分∠OBA，交 x 轴于点 D.
⑴若 AB 的中点为 M，连接 OM 交 BD 于点 N，求证∶ON=OD;
⑵如图 2，过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E，猜想 AE 与 BD 间的数量关系，并证明
你的猜想.
【解析】（1）∵直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A（a，0），B（0，b）两点，
a，b 满足（a-b）² 十∣a-4t∣=0，且 t＞0，
∴a=b=4t，∴点 A，B 的坐标是 A（4t，0），B（0，4t），
∴△AOB 是等腰直角三角形.∵M 是 AB 的中点，∴OM⊥AB.
∵直线 BD 平分∠OBA，∴∠ABD= ∠ABO=22.5°,
∴∠OND=∠BNM=90°-∠ABD=90°-22.5°=67.5°,
∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°＋45°=67.5°,
∴∠OND=∠ODB，∴ON=OD（等角对等边）.
(2) BD=2AE.理由如下∶如图，延长 AE 交 BO 于点 C.
∵BD 平分∠OBA，∴∠ABD=∠CBD.
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