《中考数学复习讲义》第四章 全等三角形 模型（十六）——半角模型

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第四章.全等三角形
模型（十六）——半角模型
一、正方形中的半角模型
【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45º）是另一个角（90º）的一
半
【结论】① EF=BE+DF， ② EA 平分∠BEF，FA 平分∠DFE，
③△EFC 的周长等于正方形边长的 2 倍
④ 如图：AM=AB
⑤ 如图：∠EAF=45º，则 EF²=BE²+FC²
见半角，旋全角，
盖半角，得半角。
口诀
【证明】①∶延长 CB 至点 P，使得 BP=DF 连接 AP
第一次全等 第二次全等
在△ABP 和△ADF 中 在△AEP 和△AEF 中
AB=AD（正方形边长相等） AP=AF
∠ABP=∠ADF=90º ∠PAE=∠FAE
BP=DF（构造） AE=AE
∴ △ABP≌△ADF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS）
∴AP=AF ，∠1=∠2 ∴PE=EF
∵∠2+∠3=45º 即 PB+BE=EF
∴∠1+∠3=45º, ∴DF+BE =EF
∴∠PAE=∠FAE
② 由①得：△AEP≌△AEF，则∠4=∠5，∠AFE=∠P
又△APB≌△AFD，∴∠P=∠AFD，∴∠AFE=∠AFD
∴EA 平分∠BEF，FA 平分∠DFE
③ 由①得：EF=BE+DF，∴△EFC 的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF
=BC+DC， ∴△EFC 的周长等于正方形边长的 2 倍
④ 过 A 作 AM⊥EF，则∠AME=∠B=90º。由①得∠1=∠2，AE=AE，
∴△ABE≌△AME（AAS），∴AM=AB
⑤ 如图，过点 A 作 AP⊥AF 且 AP=AF.连接 PE
∵∠CAB= ∠PAF=90º，∠1=∠2
第一次全等 第二次全等
在△ABP 和△ACF 中 在△AEP 和△AEF 中
AB=AC AP=AF
∠2=∠1 ∠PAE=∠FAE
AP=AF AE=AE
∴ △ABP≌△ACF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS）
∴BP=CF ，∠ABP=∠C=45º ∴PE=EF
∵∠EAF=45º 在 Rt△PBE 中，PE²=PB²+BE²
∴∠1+∠3=45º, 即 EF²=CF²+BE²
∴∠2+∠3 =45º
二、等腰三角形中的半角模型
【条件】 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，
且∠BDC=120°，∠MDN=60º，
【结论】① MN= BM+CN;
②△MAN 的周长等于△ABC 边长的 2 倍;
③ MD 是∠BMN 的平分线，ND 是∠CNM 的平分线
【证明】∵△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°.
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC = ∠BAC = ∠BCA=60°,
∴∠DBA= ∠DCA=90°.
延长 AB 至点 F，使 BF=CN，连接 DF，如图.在△BDF 和△CDN 中，
DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS），
∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.
∵∠MDN=60°, ∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，
即∠FDM=60°=∠MDN.
在△DMN 和△DMF 中，DN=DF,∠MDN= ∠MDF, DM=DM,
∴△DMN≌△DMF（SAS），∴ MN=MF=BM+CN,
∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，
∴△AMN 的周长是 AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2 边长.
三、对角互补且邻边相等的半角模型
【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BAD= 2∠EAF，AB=AD，
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